Ce livre est une restitution d’entretiens entre deux personnalités aux parcours marqués par l’excellence et le succès. A propos de Cédric Villani, plus connu du grand public, rappelons simplement qu’avant une mise entre parenthèses au profit d’un engagement en politique, sa carrière de mathématicien a connu la consécration avec l’attribution de la médaille Fields en 2010. Quant à Karol Beffa, les plus anciens et assidus lecteurs de Variances auront peut-être en mémoire le portrait[1] paru en 2003, quelques années après ses études à l’ENS Ulm et à l’ENSAE. Il avait déjà fait le choix à ce moment-là de la musique plutôt que de l’économie, fort notamment de multiples premiers Prix au Conservatoire de Paris. Depuis, il mène une carrière de pianiste, compositeur et universitaire, distinguée entre autres par l’attribution de la chaire annuelle Création artistique au Collège de France en 2012 et les Victoires de la musique classique (compositeur de l’année en 2013 et 2018).

L’ouvrage reprend donc des éléments de dialogues échangés par le musicien et le mathématicien à l’occasion de manifestations publiques au Collège de France et à l’ENS. Le caractère oral des échanges d’origine a été grandement préservé et le style et le contenu en font une lecture souvent captivante, en fonction évidemment du degré d’intérêt personnel porté à la musique et aux mathématiques. Le plaisir de lecture doit aussi beaucoup au sentiment d’un véritable dialogue et d’une certaine complicité. Les deux auteurs se sont certes connus étudiants à l’ENS et jamais totalement perdus de vue, mais il est également manifeste que leurs domaines respectifs ne leur sont pas du tout étrangers. Loin de se cantonner à la confrontation de leur propre expérience et milieu professionnel, le dialogue, érudit, est aussi nourri de références à d’autres domaines, comme la littérature ou le cinéma (Karol Beffa a été un enfant acteur).

En lui-même, le livre est susceptible d’être lu en quelques heures, mais il en émane une puissante et omniprésente invitation à approfondir ou découvrir de multiples sujets, source presque inépuisable d’autres lectures et d’écoute musicale[2]. Il est articulé en douze chapitres, avec pour chacun un thème dominant dans les échanges. Les deux premiers chapitres forment une introduction, qui permet aux deux auteurs de présenter au non-initié en quoi consiste leur métier, puis de raviver souvenirs de jeunesse et moments marquants de leurs années d’étudiant. Le troisième chapitre intitulé « Maîtres » opère la transition vers les ressorts de l’activité créatrice.

Comme le titre du livre le laisse entrevoir, nullement question ici de recette miracle générique, mais plutôt le récit de nombreuses anecdotes et expériences personnelles sur les éléments de contexte et d’environnement qui ont jalonné et façonné le parcours des deux protagonistes. Chacun y voit la contribution de quelques facteurs clés finalement assez partagés : le rôle des maîtres donc, mais aussi des pairs et des élèves, l’importance d’enseigner à différents niveaux, les vertus de l’imitation et du pastiche dans la maîtrise technique, l’effet stimulant des contraintes[3] et … le hasard.

Dans la seconde moitié du livre, quelques thèmes majeurs sont développés de façon comparée. La question du style par exemple, plutôt naturelle à appréhender en musique, se révèle plus subtile, mais pas moins présente en mathématiques. La notion de progrès, peu probante en musique, revêt de nombreux aspects en sciences, en particulier via l’impact de la technologie sur les domaines étudiés et sur les possibilités d’expérimentation, mais aussi sur les modes de pensée et de démonstration[4]. De multiples sentiments sont partagés par les deux compères sur le mélange de souffrance et d’exaltation, les moments de grande solitude et de doute, la recherche obsessionnelle. Le mystère de l’inspiration reste pourtant presque entier in fine, malgré quelques convictions communes : le bénéfice de l’expérience, qui permet de distinguer plus rapidement les bonnes idées ; le métier, la compétence technique et le travail acharné, ingrédients irremplaçables pour la mise en œuvre.

Parmi les derniers thèmes abordés figure la question des liens entre musique et mathématiques, souvent perçus comme étroits. Les deux domaines partagent volontiers un état d’esprit tourné vers l’abstraction, l’imagination et la narration. On peut distinguer quelques grands types de rapports : utiliser des règles mathématiques pour créer (comme le compositeur Iannis Xenakis avec la théorie des jeux et les processus aléatoires), représenter des concepts scientifiques dans des œuvres, s’inspirer de l’émotion esthétique de théories (comme les systèmes chaotiques et les fractales chez György Ligeti). Les fondements théoriques de la musique ne dépassent cependant guère le problème de la construction des gammes, qui a préoccupé musiciens et mathématiciens depuis Pythagore[5].

Au-delà des seules considérations biographiques des deux auteurs, de nombreux passages font également référence à d’autres créateurs, des plus célèbres au plus confidentiels et aussi bien parmi les anciens que les contemporains. La part belle est naturellement donnée à la musique dite savante (par distinction avec la variété ou la musique pop/rock) et aux mathématiques. Une centaine de compositeurs sont ainsi évoqués au cours des échanges et presque autant de mathématiciens, avec dans les deux cas quelques noms qui reviennent de façon récurrente.

Dans le domaine musical, outre les grands classiques (Bach, Mozart et Beethoven), György Ligeti[6], Pierre Boulez, Maurice Ravel, Henri Dutilleux sont les compositeurs le plus souvent mentionnés, parmi une multitude d’autres figures de la musique du 20ème siècle. Leur évocation renvoie aux différents courants de la musique contemporaine, à la création en dehors du système tonal[7] et aux expérimentations les plus diverses (du dodécaphonisme à la musique spectrale, en passant par la musique aléatoire). On peut souvent y voir une exposition en creux des débats et querelles d’écoles qui ont agité une grande partie du siècle dernier et un point de vue sur ce que la postérité en retiendra probablement.

Dans le domaine mathématique sont évoqués quelques-uns des plus grands défis en mathématiques fondamentales : théorème de Fermat, théorème de plongement de Nash, 16ème problème d’Hilbert, hypothèse de Riemann, équations de Navier-Stokes, conjecture de Poincaré. Avis aux chasseurs de primes : les trois derniers problèmes figurent parmi les sept prix du millénaire lancés en 2000 par le Clay Mathematics Institute et dotés chacun d’un million de dollars. De ces sept problèmes encore ouverts à l’époque, la conjecture de Poincaré est le seul aujourd’hui résolu[8]. On retiendra également les multiples références au génie créatif de John Nash, un des « héros mathématiciens » de Cédric Villani, cas unique de lauréat des plus hautes distinctions à la fois en économie (prix « Nobel » 1994) et en mathématiques (prix Abel 2015).

On peut remarquer pour finir que le contenu de l’œuvre de chacun des deux auteurs est abordé de façon relativement modeste, avec simplement quelques balises pour le lecteur qui souhaiterait l’explorer par lui-même.

Les travaux de Cédric Villani relèvent de divers champs de recherche : analyse, géométrie différentielle, probabilités, physique statistique, avec une propension particulière à établir des ponts entre des domaines à première vue différents. Le problème dit du transport optimal est un de ses thèmes de prédilection, auquel il est fait mention à plusieurs reprises. Ses ouvrages de référence sur le sujet[9] figurent parmi les productions scientifiques dont il dit tirer la plus grande fierté. C’est un problème ancien qui conduit à la fois à de nombreux développements théoriques et à des applications variées en physique, en économie et aussi en Machine Learning (cf. l’exposé[10] de Marco Cuturi « Les évolutions mathématiques de la science des données » lors du colloque IA : fiction ou actions, retranscrit sur variances.eu le 25/5/2018). Une autre manifestation de ce type de vision transverse est l’adoption d’un point de vue géométrique en inférence statistique (un champ d’étude communément désigné par le terme Information Geometry[11]), dont le point de départ consiste à voir la matrice d’information de Fisher comme une métrique riemannienne. Cette optique, déjà présente dans les travaux de Hotelling ou de Rao, connaît un regain d’intérêt pour son utilisation en Machine Learning et en optimisation numérique[12].

Cette capacité de création et de circulation aussi bien dans les outils les plus abstraits que dans les applications n’est d’ailleurs pas sans rappeler le mathématicien Pierre-Louis Lions, qui fut le directeur de thèse de Cédric Villani à l’Université Paris-Dauphine et dont le nom est évoqué à plusieurs occasions par les deux auteurs. Ses travaux initiaux sur l’analyse des équations aux dérivées partielles se sont déployés vers des domaines variés. La collaboration avec Jean-Michel Lasry[13] a en particulier conduit à différentes applications en finance[14] et en économie[15].

Enfin, pas simple non plus de résumer en quelques lignes la production de Karol Beffa, tant elle est protéiforme et aborde de multiples facettes de l’activité musicale. Le pianiste est aussi bien l’interprète d’œuvres du répertoire, de ses propres compositions qu’un fervent adepte de l’improvisation. S’il faut lui coller une étiquette, l’œuvre du compositeur relève de la musique « classique », de la forme symphonique à l’opéra-ballet, en passant entre autres par concertos et contes musicaux. Néanmoins, elle n’exclut pas les collaborations avec des jazzmen, les arrangements inspirés de la pop ou de la techno, ni de nombreuses interactions avec le cinéma et la littérature. L’universitaire a également à son actif une dizaine d’ouvrages de musique et de musicologie.

 

* « Les coulisses de la création » de Karol Beffa et Cédric Villani, aux éditions Flammarion 


[1] Variances d’avril 2003.

[2] Dans cette optique et en se limitant aux aspects mathématiques et économiques, quelques digressions et suggestions de lectures – personnelles et subjectives – accompagnent ces notes.

[3] L’aiguillon de la contrainte de temps est sans surprise illustré avec le cas fameux d’Evariste Galois. Plus proche de nous, le destin émouvant du mathématicien Wolfgang Döblin est aussi évoqué. Ces derniers travaux rédigés sur le front avant son suicide en 1940, préfigurent l’intégrale d’Itô et n’ont été découverts qu’en 2000.

[4] Les deux auteurs ne semblent pas très adeptes des outils logiciels d’aide à la composition ou de vérification de preuves. Dans ce dernier domaine, on peut néanmoins mentionner le logiciel Coq développé en France, « auteur » de preuves complètes de résultats particulièrement résistants à une démonstration humaine : le théorème des quatre couleurs et le théorème de Feit-Thompson en théorie des groupes.

[5] L’impossibilité de construire la gamme « idéale » résulte de l’irrationalité de Log23. L’utilisation des fractions continues permet de déterminer les meilleures approximations. Pour une étude approfondie du sujet on peut consulter l’article de Xavier Caruso (2012), Application des fractions continues à la construction des gammes musicales, Revue de Mathématiques Spéciales, 123-1.

[6] Karol Beffa a soutenu une thèse de doctorat de musicologie sur les études pour piano de Ligeti et est l’auteur d’une biographie de référence : György Ligeti, Fayard (2016).

[7] Toutes les notions fondamentales sont dans la « bible » de Claude Abromont et Eugène de Montalembert (2001), Guide de la théorie de la musique, Fayard.

[8] Démontrée par Grigori Perelman, dont la personnalité hors norme est rapprochée de celles de John Nash et d’Alexandre Grothendieck – en écho au roman de Philippe Zaouati, Les Refus de Grigori Perelman (note publiée sur variances.eu le 5 juillet 2017).

[9] Cédric Villani (2008), Optimal Transport: Old and New, Springer.

[10] Pour entrer dans la technique on peut se référer à l’ouvrage de Gabriel Peyré et Marco Cuturi (2019), Computational Optimal Transport With Applications to Data Science, Now Publishers.

[11] Shun-ichi Amari (2016), Information Geometry and its Applications, Springer.

[12] Léon Bottou, Frank E. Curtis, Jorge Nocedal (2018), Optimization Methods for Large-Scale Machine Learning, SIAM REVIEW, Vol. 60, No 2, pp. 223–311.

[13] Voir l’entretien « big data pour start-up » publié le 31/5/2019 sur variances.eu

[14] Pierre-Louis Lions a introduit la notion de solution de viscosité, solution faible de certains types d’EDP, en particulier les équations de Hamilton-Jacobi-Bellman en contrôle optimal. Avec Jean-Michel Lasry ils ont popularisé l’usage du calcul de Malliavin en finance. On peut voir ces deux outils à l’œuvre dans le manuel de Bruno Bouchard et Jean-François Chassagneux (2014), Valorisation de produits dérivés, Economica.

[15] Notamment les jeux à champ moyen, dont on peut voir des exemples dans : Olivier Guéant, Jean-Michel Lasry, Pierre-Louis Lions (2011), Mean Field Games and Applications in Paris-Princeton Lectures on Mathematical Finance 2010, Springer.