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aires-variances-fevrier-2021
Mots-clés : mathématiques – cognition – montagne – K2 – triangles – parallélogrammes – transformations affines – équation du second degré – degrés de liberté – équation d’état
Membre fondateur de l’Académie des technologies.
Ingénieur de formation et titulaire d’un doctorat en mathématiques appliquées, mon parcours se déroule selon deux fils parallèles : responsabilités administratives, d’un côté, positions d’enseignement-recherche, de l’autre. Au long de mes postes successifs, l’un ou l’autre de ces fils prédomine, sans que l’autre ne s’efface : enseignant-chercheur à l’ENST(aujourd’hui Mines Paris Tech), économiste à la Direction générale des télécommunications (aujourd’hui Orange) puis sous-directeur des études au Ministère de la Défense, directeur-adjoint de l’ENSAE, professeur d’économie au Conservatoire national des arts et métiers et à l’École polytechnique, membre de l’ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes puis du Conseil supérieur de l’audiovisuel (CSA).
Mes passions : la conceptualisation, la modélisation, l’écriture...
Ma devise : la vie est trop courte pour que l’on puisse se permettre de n’en vivre qu’une seule !
Ingénieur de formation et titulaire d’un doctorat en mathématiques appliquées, mon parcours se déroule selon deux fils parallèles : responsabilités administratives, d’un côté, positions d’enseignement-recherche, de l’autre. Au long de mes postes successifs, l’un ou l’autre de ces fils prédomine, sans que l’autre ne s’efface : enseignant-chercheur à l’ENST(aujourd’hui Mines Paris Tech), économiste à la Direction générale des télécommunications (aujourd’hui Orange) puis sous-directeur des études au Ministère de la Défense, directeur-adjoint de l’ENSAE, professeur d’économie au Conservatoire national des arts et métiers et à l’École polytechnique, membre de l’ARCEP (Autorité de régulation des communications électroniques et des postes puis du Conseil supérieur de l’audiovisuel (CSA).
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J’ai trouvé cet article très intéressant, et j’ai deux remarques :
1° La symétrie de l’expression x(a,b,c) par rapport au triplet (a,b,c) ne doit-elle pas être également considérée comme une condition nécessaire de l’exercice ?
2° Ou, justement, ce qui choque le plus mon intuition, c’est le fait que a, b et c ne jouent pas un rôle identique dans la solution x(a,b,c). Mais je suppose que l’on peut construire les autres solutions y(b,c,a) = x(a,b,c) et z(c,a,b) = x(a,b,c) ?
Gérard Lang
Les aires a et b sont interchangeables car les aires c et x sont invariantes dans une symétrie dont l’axe est la première diagonale du parallélogramme et dont la direction est la seconde diagonale.
En revanche, aucune symétrie ne permet d’échanger a et c ou b et c. L’aire c se distingue en nature des aires a ou b par le fait que le triangle sous-jacent n’a pas pour sommet le point O commun aux trois triangles d’aires a, b et x.
Votre intéressant commentaire invite à réfléchir sur la structure du problème.
Malgré les apparences, les trois pièces triangulaires latérales du puzzle (dont les aires a, b, c sont données) ne jouent pas toutes des rôles équivalents vis-à-vis de la pièce centrale (dont l’aire x est l’inconnue). En effet, deux de ces pièces (d’aires a et b), contrairement à la troisième (d’aire c),, partagent chacune un côté avec le parallélogramme qui forme le contour du puzzle. Permuter les aires a et b revient ainsi à échanger les deux côtés de ce parallélogramme, c’est-à-dire à opérer la symétrie axiale d’axe OC et de direction AB, qui préserve toutes les aires de la figure.
Merci encore pour votre intérêt !
Merci de votre réponse à mon commentaire. Je m’autorise à continuer l’analyse de la question.
En fait, l’expression x(a,b,c) est bien invariante par rapport à toute permutation du triplet (a,b,c), ainsi que par rapport à la substitution entre a et b. Mais elle n’est pas invariante par rapport à la substitution entre a et c, ni par rapport à la substitution entre b et c. Et d’ailleurs les valeurs numériques que l’on obtient en faisant ces deux dernières substitutions n’aboutissent pas à un résultat correct.
Il me semble que l’explication la plus simple et naturelle que l’on puisse proposer pour expliquer tout cela par rapport au problème posé, c’est le fait que l’un (et un seul !) des trois sommets du triangle (que nous appellerons T) dont on cherche l’aire est également un des quatre sommets du parallélogramme (que nous appellerons P), ce qui brise la symétrie entre les triangles a,b et c.
Mon affirmation précédente que l’expression x(a,b,c) est invariante pour les permutations du triplet (a,b,c) est fausse ! Ce qui est cohérent avec l’analyse géométrique qui suit au second paragraphe du même message. En fait, ce qui caractèrise la situation géométrique du problème, c’est que les triangles a et b ont un (seul) sommet commun, qui est également un sommet commun au triangle T et du parrallèlogramme P, tandis que le triangle c n’a aucun sommet commun simultanément avec le triangle T (ils ont deux sommets communs) et avec le parallélogramme P (il ont un sommet commun, qui est le troisième du triangle c !).
cet article a tourne dans ma tete toute la nuit.Bien sur le problème mathématique en lui meme est interessant mais bien plus intrigante l’histoire de ce terrain et de cet heritage.Les parents ont acheté un terrain en forme de parallélogramme a cause de tracées de routes, c’est evident pour moi.Ils ont donne a leur premiere fille le choix de la reine c’est a dire le centre du terrain car il devait être en hauteur et avoir une vue particulière ,ce qui correspond bien a sa personnalite telle qu’elle st décrite dans l’article. 6 est LE diviseur commun des surfaces et c’est evident que le decoupage du triangle a cherche une solution qui garderait en nombre entier de dizieme de ha chacune des surfaces découpées. O peut imaginer que devant segmenter 144 (24 x 6) en 4 surfaces divisibles par 6 ,le premier choix des parents a été de donner juste un peu moins que la moitié soit 11/24 a l’ainée et a lui attribue le centre en hauteur.Pour le deuxième enfant, il restait 13/24 et les parents decident de lui donner de nouveau juste un peu moins que la moitié de 13/24 soit 6/24, meme chose pour le troisième qui aura 3/24des 7/24 restant et le dernier emporte le reste a savoir 4/24.Donc on a affaire a un désir des parents de respecter une certaine logique meme si le dernier enfant reçoit plus que l’avant dernier. Ce n’est qu’après avoir trouve ce semblant de logique que j’ai pu enfin m’endormir.