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L’auto-description : une intrigante propriété

Bienvenue en 2020, deuxième année « auto-descriptive » de notre ère ! Le millésime 2020 est un nombre auto-descriptif parce que chacun de ses chiffres, repéré par son numéro de rang, de 0 à 3 à partir de la gauche, indique combien de fois ce numéro apparait en tant que chiffre, dans l’écriture du nombre 2020. Ainsi, 2020 contient 2 fois le chiffre 0, 0 fois le chiffre 1, 2 fois le chiffre 2 et 0 fois le chiffre 3.

Conformément à son appellation, un nombre auto-descriptif se raconte en quelque sorte lui-même : par la voix de son chiffre le plus à gauche, il dit  combien il comporte de zéros ; puis, tour à tour, par les voix de ses chiffres successifs en se déplaçant vers la droite, il dit combien il comporte de uns, de deux, de trois, etc.

Gare aux pièges tendus au profane !

Tout d’abord, le nombre 0, dont la singularité fascine, n’est pas un nombre auto-descriptif, tout au contraire : il est le nombre auto-négationniste par excellence, puisque le chiffre 0, placé en son unique rang éponyme, dénie sa propre existence d’une manière éhontée.

Ensuite, en dépit d’une illusion trompeuse, des nombres tels que 10, 200, ou encore 3000, ne sont pas davantage auto-descriptifs, puisque leur premier chiffre n’est pas signalé par la présence d’un 1 au rang correspondant.

Le sujet est donc moins évident qu’il n’y paraît au premier abord : n’est pas auto-descriptif qui veut ! Oubliez notamment la tentation de Marignan, 1515, ou autres 1111, 1212…, 1919. Dans la série des dates en doublet, seule 2020 est auto-descriptive.

Suites auto-descriptives

Comme souvent en mathématiques, d’abord généraliser le problème posé aide ensuite à mieux le résoudre. Il convient, à cet égard, de noter que l’auto-description est une propriété qui se rapporte, non pas intrinsèquement à un nombre en tant qu’être arithmétique, mais à l’écriture de ce nombre en tant que séquence de ses chiffres. Autrement dit, pour affirmer que l’écriture 2020 est auto-descriptive, il n’est pas utile de savoir que, dans le système de numération décimal, le nombre sous-jacent vaut deux fois mille, plus zéro fois cent, plus deux fois dix, plus zéro fois 1. En termes linguistiques, l’auto-description est une propriété « orthographique », et non pas « sémantique », d’un nombre. C’est pourquoi nous raisonnerons, dans un premier temps, sur l’ensemble des suites de nombres entiers, en remarquant que, dans un système numéral de base donné, notamment le système décimal, un nombre n’est autre qu’une suite particulière : celle formée par la séquence des entiers qui constituent ses chiffres.

Par définition, une suite entière est auto-descriptive si et seulement si chacun de ses termes a pour valeur la multiplicité du rang de ce terme, en tant que valeur au sein de la suite. Cette définition établit un couplage étroit entre les valeurs des termes et leurs rangs : chaque rang est potentiellement la valeur d’un ou plusieurs termes d’une suite auto-descriptive.

L’identification exhaustive des suites auto-descriptives procède commodément en huit étapes élémentaires de démonstration, chacune aisée à prouver à partir des précédentes. À vous de jouer, amis lecteurs !

Étape 1. La valeur du terme de tête, au rang 0, ne peut être nulle.

Étape 2. La valeur de chacun des termes est strictement majorée par la taille de la suite.

Étape 3. La somme des valeurs de tous les  termes de la suite est égale à la taille de celle-ci.

Étape 4. Le terme de tête étant exclu, la somme cumulée des autres termes de la suite est égale au nombre de ceux d’entre eux qui ne sont pas nuls, augmenté d’une unité.

Étape 5. Les valeurs des termes non nuls, hors le terme de tête, comprennent un et un seul 2 et, au plus, deux 1.

Étape 6. L’unique 2 figurant au-delà du rang 0 est situé au rang 1 ou au rang 2.

Étape 7. Si un seul 1 figure au-delà du rang 0, alors il est placé, soit au rang 1, soit au rang 2 ; et si deux 1 figurent au-delà du rang 0, alors l’un d’eux est placé au rang 2 et l’autre à un rang strictement supérieur à 2.

Étape 8. En conséquence de l’étape 5, ou bien aucun terme de valeur 1 ne figure au-delà de la tête de suite, ou bien un seul, ou bien deux. En examinant ces trois cas tour à tour et en s’appuyant sur les acquis des différentes étapes, on est en mesure de préciser les rangs portant l’unique 2, ainsi que ceux portant les éventuels 1. Vient ensuite la valeur du terme de rang 0, qui permet finalement de dénombrer et placer les 0 de la suite.

Supposons franchies les étapes 1 à 7 et traitons le premier cas de l’étape 8. Si, par hypothèse, aucun 1 n’est présent au-delà du rang 0, l’unique 2 présent au-delà de ce rang ne peut figurer au rang 1. Il figure par conséquent au rang 2, d’après l’étape 6. Il existe donc deux termes de valeur 2 dans la suite, dont l’un nécessairement au rang 0, où il annonce deux 0, aux rangs encore libres, soit 1 et 3. D’où 2, 0, 2, 0, seule suite auto-descriptive dépourvue de 1 !

En procédant de même pour les deux autres cas de l’étape 8 et en classant les suites par ordre de taille, on obtient l’inventaire complet des suites auto-descriptives :

n = 1, 2, 3 ou 6 : aucune suite auto-descriptive ;

n = 4 : deux suites auto-descriptives, soit 1, 2, 1, 0 et 2, 0, 2, 0 ;

n = 5 : une seule suite auto-descriptive, soit 2, 1, 2, 0, 0 ;

n ≥ 7 : une suite auto-descriptive pour chaque taille n donnée, soit

(n – 4), 2, 1, 0 [(n – 7) fois], 1, 0, 0, 0.

Nombres auto-descriptifs

L’écriture d’un nombre dans le système décimal de numération n’est autre que la suite de ses chiffres, c’est-à-dire une suite de nombres strictement inférieurs à 10.

Quelles sont les suites auto-descriptives qui peuvent se « lire » comme des nombres écrits en système décimal, ces nombres méritant dès lors le label « auto-descriptif » ? La réponse semble aisée : un nombre ne pouvant commencer par un 0, ce sont les suites auto-descriptives dont le terme de tête est un chiffre positif, c’est-à-dire un entier compris entre 1 et 9.

Hum… pas tout à fait, en raison d’une exigence supplémentaire : alors qu’une suite auto-descriptive est une description des termes de cette suite, un nombre auto-descriptif est une description des chiffres de ce nombre ; or, puisqu’un chiffre décimal ne peut prendre que 10 valeurs distinctes, la taille maximale d’un nombre auto-descriptif est n = 10 : au-delà du rang 9, les chiffres ne dénombreraient plus des chiffres, mais des nombres d’au moins deux chiffres !

D’où la liste exhaustive, par ordre croissant, des sept seuls entiers naturels auto-descriptifs :

1 210 ; 2 020 ; 21 200 ; 3 211 000 ; 42 101 000 ; 521 001 000 ; 6 210 001 000.

Ces nombres sont répertoriés (depuis août 2019), sous les appellations de « nombres autobiographiques » ou « nombres curieux », à la rubrique A046043 de  l’Encyclopédie en ligne des suites entières (OEIS, Online Encyclopedia of Integer Sequences)[1].

Plongeant les nombres auto-descriptifs décimaux dans le calendrier grégorien, on s’aperçoit qu’ils repèrent des dates passablement rares :

  • l’année 2020 est la deuxième année auto-descriptive de l’ère chrétienne ;
  • celle qui l’a précédée est l’an de grâce 1210, qui vit tristement brûler la cathédrale carolingienne de Reims ;
  • seules cinq années auto-descriptives sont encore à venir, dont la prochaine pas avant 21 200 ;
  • si, d’aventure, elle doit connaître la septième et ultime année auto-descriptive, alors l’humanité aura migré vers quelque exo-planète, pour échapper à l’explosion puis à l’implosion du système solaire, dans environ cinq milliards d’années !

Repérage et exploration

Le problème abordé dans cet article appartient au type suivant : au sein d’une très large classe d’objets, ici des suites ou des nombres, lister exhaustivement tous ceux qui possèdent une propriété donnée, ici l’auto-description. Autrement dit, le défi lancé consiste à passer d’une caractérisation « compréhensive », la propriété postulée a priori, à une caractérisation extensive, la liste exhaustive des solutions établie a posteriori comme étant équivalente à la propriété. La méthode de résolution de tels problèmes combine deux opérations :

  • d’une part, le repérage du terrain : dans quel périmètre doit-on chercher, quels territoires peut-on exclure ?
  • d’autre part, l’exploration, c’est-à-dire la recherche systématique de solutions dans les zones de recherche préalablement identifiées comme pertinentes.

Au cas d’espèce, le travail de repérage est essentiellement effectué au long des étapes 1 à 7, avant que l’étape 8 ne réalise le travail final d’exploration, jusqu’à identification complète des suites auto-descriptives. Notons néanmoins que la partition entre repérage et exploration relève davantage de l’organisation de la preuve que de la nature même du problème. Il est donc à la fois plus exact et de portée plus générale de parler d’une alternance entre phases de repérage et phases d’exploration, à la manière dont on procède lorsque l’on cherche un objet perdu. Le raisonnement mathématique réplique souvent des comportements naturels… à moins que ce ne soit l’inverse !

Autoréférence et puissance inductive

La propriété d’auto-description est un cas dérivé d’une catégorie remarquable, dans le champ de la philosophie, comme dans ceux de la linguistique et de la logique mathématique : l’autoréférence. Un énoncé est dit auto-référent s’il renvoie à lui-même, telle la phrase « Cette phrase comporte cinq mots. ». La définition de l’auto-description n’est pas à proprement parler un énoncé auto-référent ; en revanche, elle induit une boucle autoréférentielle chez l’objet auquel elle s’applique, une suite ou un nombre : alors que le rang et la valeur d’un chiffre au sein d’un nombre, ou celui et celle d’un terme au sein d’une suite, sont deux caractéristiques ordinairement indépendantes entre elles, la propriété d’auto-description les accouple, chacune renvoyant désormais à l’autre au sein du système « replié » qu’ensemble, elles constituent.

Il s’avère qu’une liaison de type autoréférentiel, parce qu’elle entrelace en profondeur les fils d’une même texture, parce qu’elle y réduit drastiquement le nombre des degrés de liberté résiduels, constitue le vecteur d’une « force forte », selon la terminologie de la physique. Il n’est donc guère surprenant qu’une telle force, en libérant une puissance considérable d’inférence logique, opère un tri extrêmement sélectif ! Comme on l’a constaté ici, seuls existent sept nombres auto-descriptifs, parmi les dix milliards de nombres a priori candidats ! Un peu à la manière dont, mutatis mutandis, l’inscription interrogative « Quel est le titre de ce livre ? », portée en gros caractères sur la première de couverture d’un ouvrage, est à la fois un titre et l’unique réponse à la question éponyme « Quel est le titre de ce livre ? ».

Efficacité et esthétique

Le traitement de certains problèmes amène à d’abord s’abstraire de quelques contingences accessoires, à raisonner ensuite dans ce cadre élargi, puis à restreindre l’ensemble des solutions ainsi obtenues au sous-ensemble de celles satisfaisant aux contraintes qui ont été provisoirement écartées. Nous avons ici suivi cet enchaînement « extension/résolution/réduction ». L’extension ex ante consiste à raisonner sur les suites entières, dont les nombres entiers ne sont que des cas particuliers (suites numérales). Inversement, la réduction ex post consiste à revenir, depuis l’univers des suites, vers l’univers numéral du système décimal, en éliminant les suites auto-descriptives qui n’y sont pas admissibles, à savoir celles dont la valeur du terme de tête excède 9 et même, plus restrictivement, celles comportant plus de dix rangs. Si ces contraintes « secondaires » étaient prises en considération au cours de la phase de résolution, le « coût » de la démonstration en serait significativement accru, sans aucun « bénéfice » en contrepartie.

Un bon mathématicien doit appliquer un principe de parcimonie, se montrer économe de l’effort à déployer vis-à-vis de la tâche à effectuer. Ce faisant, il satisfait en outre à l’esthétique car, à l’instar du domaine sportif où le geste le plus efficace est aussi souvent le plus beau, dans le domaine scientifique, le raisonnement le plus direct est généralement le plus élégant.

Mots croisés et Sudoku

Exprimé de manière condensée, les nombres auto-descriptifs sont des nombres qui s’épèlent eux-mêmes. Dès lors, leur étude ne relève-t-elle pas davantage de la linguistique que des mathématiques ?    Et, à ce propos, doit-on préalablement ranger un problème dans une catégorie épistémique avant de l’analyser ?

Le sens dit « commun » conduit la plupart à penser qu’un cruciverbiste se livre à un exercice « littéraire » au motif que son habileté serait proportionnée à la richesse de son vocabulaire, tandis qu’un amateur de sudoku mobilise ses capacités de  « matheux », au motif que son talent résiderait dans son aisance à manipuler des chiffres. En réalité, cette partition des genres est en partie arbitraire. En effet, l’absence de chiffres dans une grille de mots croisés ne saurait dissimuler le rôle de complément que le « calcul » logique joue dans la « résolution » de ce qu’il est d’ailleurs convenu d’appeler un « problème de mots croisés » : une orthographe sûre et un solide vocabulaire sont bien sûr essentiels, mais ils ne suffisent pas tout à fait ; encore faut-il savoir décoder les définitions, tenir compte de la fréquence des lettres, jongler avec les mots… Inversement, l’omniprésence de chiffres dans une grille de sudoku ne signifie nullement qu’il s’agisse là d’une énigme arithmétique : en vérité, il n’est pas même nécessaire de maîtriser l’addition ou la multiplication pour jouer au sudoku et les neuf lettres A, B, C, D, E, F, G, H, I sont parfaitement substituables aux neuf chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ainsi, en dépit des apparences, les grilles de mots croisés ne sont pas d’essence littéraire, ni celles de sudoku d’essence scientifique. Bien davantage qu’elles ne se distinguent par leurs présentations contrastées, des lettres pour les mots croisés, des chiffres pour le sudoku, ces deux disciplines ludiques se réunissent intimement dans leur ADN commun : susciter le raisonnement.

Plus généralement, tout objet de réflexion stimule une chaîne de raisonnement logique chez le sujet qui s’y intéresse. Or la logique étant le socle des mathématiques, toute pratique d’une pensée rationnelle peut à cet égard être regardée comme un « acte » mathématique. Chacun fait quotidiennement des maths sans s’en douter, tel Monsieur Jourdain, de la prose. Chacun est « bon en maths » à sa manière, au gré de sa curiosité !

Harvard ou MIT ?

Savoir lire ou écrire, d’une part, savoir compter, d’autre part, ne sont pas des aptitudes humaines aussi séparées qu’on le croit ou veut le faire croire généralement. Moyens conjoints mis au service d’un raisonnement organisé, elles se rejoignent plutôt, pour former un tronc commun de la connaissance.

Un juriste formé à Harvard et un ingénieur formé au MIT ont des esprits faits de la même matière grise et composé des mêmes neurones, pour le meilleur… et aussi parfois pour le pire, comme le révèle excellemment ce propos plaisant, prêté à une préposée à la caisse « moins de dix articles » d’un supermarché de Boston, à l’adresse d’un jeune homme pressé qui lui présente un caddie bondé :

Toi, ou bien tu sors du MIT et tu ne sais pas lire, ou bien tu sors de Harvard et tu  ne sais pas compter !

L’invective amusée de notre caissière du Massachusetts pointe avec pertinence, et en creux, la complémentarité de la lecture et du calcul dans la performance d’un bel esprit confronté aux circonstances de la vie courante. On retrouve, par transposition, la trace d’un pareil humour éloquent dans la partie « d’échecs scolaires » due au peintre Christophe Curien[2] : « lecture » des positions des pièces sur l’échiquier et « calcul » stratégique sont les deux vertus cardinales d’un grand maître des échecs, faute desquelles il court inéluctablement à l’échec… et « maths » !

 

Mots clés : nombres autobiographiques – autoréférence – induction logique – pensée rationnelle – épistémologie


[1] Voir cette rubrique ici :  http://oeis.org/search?q=A046043&language=french&go=Chercher

[2] Accéder ici à son site : https//images.app.goo.gl/WFXBEo4sS7L6sYuE8

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