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Ce livre*, r\u00e9dig\u00e9 par deux anciens normaliens professeurs de math\u00e9matiques en classes pr\u00e9paratoires, est une vraie r\u00e9ussite, dont le titre annonce bien la couleur. Un avis pr\u00e9liminaire pour pr\u00e9ciser un peu :\u00a0 nulle n\u00e9cessit\u00e9 d\u2019\u00eatre f\u00e9ru de jeux ou de casse-t\u00eates pour s\u2019y plonger, mais sans app\u00e9tit pour les math\u00e9matiques mieux vaut passer son chemin.<\/p>\n
L\u2019ouvrage, d\u2019une grande qualit\u00e9 \u00e9ditoriale, est structur\u00e9 en quinze chapitres et autant de jeux, dont la r\u00e9solution, ou \u00e0 d\u00e9faut l\u2019analyse d\u00e9taill\u00e9e, s\u2019appuie sur des concepts math\u00e9matiques sous-jacents. Pour faciliter la lecture du plus grand nombre, les auteurs d\u00e9taillent le contexte historique, d\u00e9crivent les principes et r\u00e8gles du jeu \u00e0 l\u2019aide de riches figures et sch\u00e9mas, puis prennent soin de rappeler d\u00e9finitions et r\u00e9sultats math\u00e9matiques avant leur mise en \u0153uvre. Dans l\u2019ensemble, la pr\u00e9sentation se situe \u00e0 mi-chemin entre la vulgarisation de recettes plus ou moins obscures et les publications de recherche, avec une progression en douceur du niveau de difficult\u00e9. Les expos\u00e9s et d\u00e9monstrations sont toujours tr\u00e8s d\u00e9taill\u00e9s et agr\u00e9ment\u00e9s d\u2019abondantes r\u00e9f\u00e9rences bibliographiques.<\/p>\n
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Le baguenaudier<\/p><\/div>\n
La quinzaine de jeux et casse-t\u00eates consid\u00e9r\u00e9s contient \u00e0 la fois de grands classiques et quelques exemples moins familiers. Il ne faut y voir ni logique de catalogue, ni souci d\u2019exhaustivit\u00e9. Le fil directeur de la s\u00e9lection repose davantage sur l\u2019int\u00e9r\u00eat suscit\u00e9 par ces divertissements aupr\u00e8s de math\u00e9maticiens de diff\u00e9rentes \u00e9poques\u00a0: du baguenaudier \u00e9tudi\u00e9 par J\u00e9r\u00f4me Cardan puis John Wallis, au jeu de Hex cher \u00e0 John Nash. A plusieurs reprises, des variantes et g\u00e9n\u00e9ralisations sont introduites en raison de nouvelles questions soulev\u00e9es et de leur int\u00e9r\u00eat sur le plan \u00a0\u00a0\u00a0math\u00e9matique.<\/p>\n
L\u2019esprit du livre ne semble pas anim\u00e9 en premier rang par la recherche \u00e0 tout prix de solutions ou de strat\u00e9gies gagnantes. La force brute de l\u2019ordinateur ou les algorithmes d\u2019IA ne font d\u2019ailleurs qu\u2019une bouch\u00e9e de la plupart des dispositifs analys\u00e9s. L\u2019essentiel r\u00e9side plut\u00f4t dans la qu\u00eate d\u2019une compr\u00e9hension profonde des situations, conjugu\u00e9e \u00e0 la diversit\u00e9 et la beaut\u00e9 des math\u00e9matiques utilis\u00e9es. Pour beaucoup de casse-t\u00eates, la d\u00e9marche consistant \u00e0 jouer un peu au hasard conduit g\u00e9n\u00e9ralement \u00e0 une certaine frustration. M\u00eame en cas de r\u00e9ussite, on n\u2019est pas assur\u00e9 de comprendre pourquoi ni comment reproduire la r\u00e9solution.<\/p>\n
Les auteurs se concentrent uniquement sur des jeux en solitaire ou \u00e0 deux joueurs. A quelques exceptions pr\u00e8s dans les deux derniers chapitres, le ou les joueurs partagent une information parfaite, le hasard n\u2019intervient pas. Dans ce contexte, les outils utilis\u00e9s rel\u00e8vent essentiellement de math\u00e9matiques discr\u00e8tes et de la combinatoire, avec quelques \u00e9l\u00e9ments omnipr\u00e9sents\u00a0:<\/p>\n
Sans en avoir ostensiblement l\u2019air, l\u2019ouvrage s\u2019av\u00e8re tr\u00e8s formateur et source d\u2019inspiration motivante pour des enseignements de math\u00e9matiques et d\u2019informatique. Il pr\u00e9sente d\u2019\u00e9videntes vertus p\u00e9dagogiques et d\u2019habilet\u00e9 \u00e0 manipuler et \u00e9clairer des concepts parfois abstraits, pour traiter des questions tr\u00e8s concr\u00e8tes. Par ailleurs, l\u2019art d\u00e9licat des choix de mod\u00e9lisation est r\u00e9guli\u00e8rement mis en \u00e9vidence\u00a0: savant m\u00e9lange de technique, d\u2019imagination et de cr\u00e9ativit\u00e9.<\/p>\n
En informatique, au-del\u00e0 de la simple \u00e9criture en bits, d\u2019autres codages sont illustr\u00e9s. Les vieux probl\u00e8mes de pes\u00e9es et de d\u00e9tection de fausses pi\u00e8ces, formul\u00e9s au XVIe<\/sup> si\u00e8cle, peuvent \u00eatre r\u00e9solus avec une d\u00e9composition altern\u00e9e en base 3. Le baguenaudier est \u00e0 l\u2019origine du code de Gray, code binaire alternatif au code usuel, couramment utilis\u00e9 en \u00e9lectronique. Une extension en base 3 r\u00e9sout le probl\u00e8me des tours de Hano\u00ef, un grand classique des casse-t\u00eates invent\u00e9 par Edouard Lucas[1]<\/a>, pl\u00e9biscit\u00e9 pour introduire et incarner le raisonnement par r\u00e9currence et le principe de la programmation r\u00e9cursive. Le jeu de pile ou face, par ailleurs, est l\u2019occasion de manipuler les notions de langages et d\u2019automates.<\/p>\n Le taquin<\/p><\/div>\n En math\u00e9matiques, le concept g\u00e9n\u00e9ral d\u2019invariant peut \u00eatre illustr\u00e9 par diff\u00e9rents casse-t\u00eates, en s\u2019interrogeant sur les positions atteignables \u00e0 partir de la position initiale. La plupart du temps les mouvements \u00e9l\u00e9mentaires pr\u00e9sentent une structure de groupe, avec \u00e0 la cl\u00e9 toutes les propri\u00e9t\u00e9s associ\u00e9es. Un exemple simple est le jeu de taquin, tr\u00e8s populaire en son temps, dont l\u2019expression est pass\u00e9e dans le langage courant. Par rapport \u00e0 la position initiale, le m\u00e9lange des tuiles s\u2019inscrit dans le groupe des permutations de seize \u00e9l\u00e9ments. On voit rapidement \u00e0 l\u2019aide de la signature d\u2019une permutation comme invariant[2]<\/a>, qu\u2019il est par exemple impossible d\u2019\u00e9changer deux tuiles en laissant tout le reste en l\u2019\u00e9tat (transposition). Le cas du solitaire demande davantage d\u2019efforts, avec la construction d\u2019un invariant \u00e0 partir du corps \u00e0 quatre \u00e9l\u00e9ments F4<\/sub><\/em>. On montre alors qu\u2019en commen\u00e7ant par le retrait du pion sur la case centrale, il est possible (impossible) dans le mod\u00e8le anglais (fran\u00e7ais) de terminer avec le dernier pion sur cette case.<\/p>\n Le solitaire fran\u00e7ais Le Rubik\u2019s Cube s\u2019impose comme le casse-t\u00eate math\u00e9matique par excellence, en quelque sorte descendant et extension en trois dimensions du taquin. Plus de 50 ans mais pas vieux jeu, l\u2019objet iconique des ann\u00e9es 1980 compte toujours de fervents et jeunes adeptes[3]<\/a>. Avec le taquin ils constituent d\u2019excellents terrains de jeu pour motiver l\u2019\u00e9tude de la th\u00e9orie des groupes et s\u2019approprier les notions fondamentales et d\u2019autres plus avanc\u00e9es. Dans les deux cas, l\u2019ensemble des m\u00e9langes atteignables correspond \u00e0 un sous-groupe du groupe des permutations, qu\u2019il s\u2019agit d\u2019expliciter. On rencontre l\u00e0 les passages parmi les plus techniques, mais en retour \u00e9clairants sur le produit semi-direct de groupes, la droite projective sur un corps, les homographies.<\/p>\n Une certaine originalit\u00e9 \u00e9pice le recours \u00e0 l\u2019alg\u00e8bre lin\u00e9aire, avec espaces vectoriels et calcul matriciel sur le corps des entiers modulo 2, moins communs que sur les nombres r\u00e9els ou complexes. Un large \u00e9ventail de notions est mobilis\u00e9\u00a0: noyau et image d\u2019applications lin\u00e9aires, valeurs propres, r\u00e9duction d\u2019endomorphismes. Ici et l\u00e0 on trouvera \u00e9galement mati\u00e8re \u00e0 analogie avec la thermodynamique (entropie, irr\u00e9versibilit\u00e9) et la physique statistique (verres de spin, mod\u00e8le d\u2019Ising).<\/p>\n Si une multitude de divertissements r\u00e9cr\u00e9atifs peuvent \u00eatre analys\u00e9s \u00e0 l\u2019aide d\u2019outils d\u00e9velopp\u00e9s auparavant dans d\u2019autres contextes, quelques domaines des math\u00e9matiques trouvent \u00e9galement leur origine dans des questionnements d\u2019ordre ludique.<\/p>\n La premi\u00e8re \u00e9bauche de th\u00e9orie des probabilit\u00e9s est g\u00e9n\u00e9ralement attribu\u00e9e \u00e0 Pascal et \u00e0 Fermat, en r\u00e9ponse \u00e0 des questions soulev\u00e9es par le chevalier de M\u00e9r\u00e9, joueur imp\u00e9nitent familier des paris bas\u00e9s sur les lancers de d\u00e9s. Les probabilit\u00e9s sont donc n\u00e9es au XVIIe<\/sup> si\u00e8cle en tant que discipline math\u00e9matique, \u00e0 partir de r\u00e9flexions motiv\u00e9es par des jeux de hasard. C\u2019est une branche relativement jeune des math\u00e9matiques, mais \u00e0 peine moins que la th\u00e9orie des graphes. La tradition en associe l\u2019\u00e9closion un si\u00e8cle plus tard au probl\u00e8me des sept ponts de K\u00f6nigsberg pos\u00e9 par Leonhard Euler. Plus pr\u00e8s de nous, la th\u00e9orie des jeux, tout en conservant trace de ses origines ludiques dans son patronyme, s\u2019est consid\u00e9rablement d\u00e9velopp\u00e9e au cours du si\u00e8cle dernier en une discipline relevant autant des math\u00e9matiques que de la micro\u00e9conomie.<\/p>\n Un chapitre du livre est enti\u00e8rement consacr\u00e9 \u00e0 la th\u00e9orie des graphes et \u00e0 l\u2019expos\u00e9 des notions essentielles \u00e0 partir d\u2019exemples vari\u00e9s. L\u2019utilisation de graphes est tr\u00e8s naturelle dans la repr\u00e9sentation et l\u2019analyse de la plupart des jeux, dont la brique \u00e9l\u00e9mentaire commune est la description du passage d\u2019une position \u00e0 une autre. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, on remarquera que peu de concepts sont d\u2019application aussi universelle, tant dans les sciences de la nature que sociales. Cela donne lieu en informatique \u00e0 l\u2019\u00e9laboration de quantit\u00e9s d\u2019algorithmes [1] pour r\u00e9soudre en particulier les probl\u00e8mes sp\u00e9cifiques aux activit\u00e9s de r\u00e9seaux. De gros th\u00e9or\u00e8mes difficiles comme celui des quatre couleurs ont \u00e9galement suscit\u00e9 l\u2019attention des math\u00e9maticiens et conduit au d\u00e9ploiement d\u2019une branche des math\u00e9matiques. Le nom de Claude Berge[4]<\/a> y est couramment associ\u00e9 et appara\u00eet souvent au fil de la lecture. Grand amateur de jeux et divertissements litt\u00e9raires, il a marqu\u00e9 la recherche et le d\u00e9veloppement de la th\u00e9orie moderne des graphes, notamment avec l\u2019introduction des notions de graphes parfaits et d\u2019hypergraphes [2]. On lui doit \u00e9galement des ouvrages majeurs en combinatoire et en topologie (cf. [3] qui n\u2019est pas sans lien avec ce qui suit).<\/p>\n En th\u00e9orie des jeux, Ernst Zermelo fait figure de pr\u00e9curseur avec un fameux th\u00e9or\u00e8me \u00e9nonc\u00e9 en 1913\u00a0: dans un jeu fini \u00e0 information compl\u00e8te et sans partie nulle, l\u2019un des deux joueurs a une strat\u00e9gie gagnante. R\u00e9sultat d\u2019existence d\u2019une utilit\u00e9 pratique limit\u00e9e, qui n\u2019exhibe pas de construction de cette strat\u00e9gie (c\u2019est heureux pour l\u2019int\u00e9r\u00eat du jeu). Expliciter une strat\u00e9gie gagnante[5]<\/a> m\u00e8ne entre autres aux concepts de noyau et de nombre de Grundy dans un graphe. Les jeux de type Nim s\u2019en trouvent \u00e0 la source, donnant leur nom \u00e0 la Nim-addition[6]<\/a> qui permet de calculer leur fonction de Grundy. Un chapitre est d\u00e9di\u00e9 \u00e0 ce type de jeux et \u00e0 l\u2019identification des strat\u00e9gies victorieuses. L\u2019id\u00e9e g\u00e9n\u00e9rique est de cr\u00e9er une partition du jeu en deux, bas\u00e9e sur le nombre de Grundy d\u2019une position\u00a0: quand elle est dans le noyau, quel que soit le coup jou\u00e9 on sort du noyau\u00a0; quand elle est en dehors du noyau, il existe toujours un coup qui y ram\u00e8ne.<\/p>\n Le jeu de Hex<\/p><\/div>\n Le jeu de Hex, apparu dans les ann\u00e9es 1940, est aussi intimement li\u00e9 aux premiers pas de la th\u00e9orie des jeux. Outre une part de paternit\u00e9 attribu\u00e9e \u00e0 John Nash, d\u2019autres grands noms comme Claude Berge et David Gale y portaient \u00e9galement un int\u00e9r\u00eat particulier. Ce dernier a jou\u00e9 par ailleurs un r\u00f4le majeur dans le d\u00e9veloppement ult\u00e9rieur de la th\u00e9orie de l\u2019\u00e9quilibre g\u00e9n\u00e9ral[7]<\/a>. Cette ouverture vers la mod\u00e9lisation \u00e9conomique[8]<\/a> d\u00e9passe le cadre du livre, mais m\u00e9rite d\u2019en rappeler les grandes lignes. On peut tirer le fil \u00e0 partir d\u2019un r\u00e9sultat \u00e9tabli par Gale, d\u2019\u00e9quivalence entre l\u2019impossibilit\u00e9 d\u2019une partie nulle dans le jeu de Hex et le th\u00e9or\u00e8me de point fixe de Brouwer\u00a0!<\/p>\n Les auteurs en donnent une version pour le disque\u00a0en dimension 2 : Toute application continue dans le plan euclidien, du disque unit\u00e9 ferm\u00e9 (bord inclus) dans lui-m\u00eame admet un point fixe<\/em>. Cet \u00e9nonc\u00e9 particulier dit n\u00e9anmoins l\u2019essentiel du th\u00e9or\u00e8me standard, valable en dimension finie quelconque et pour des ensembles convexes et compacts (soit en dimension finie, ferm\u00e9s et born\u00e9s).<\/p>\n Avec celui de Banach-Picard, le th\u00e9or\u00e8me de Brouwer (1912) est sans doute le plus familier de la grande famille des r\u00e9sultats de points fixes. Il compte parmi les outils majeurs de la topologie et de l\u2019analyse non lin\u00e9aire, aux utilisations multiples dans de nombreux domaines comme l\u2019\u00e9tude des z\u00e9ros d\u2019une fonction, l\u2019analyse des \u00e9quations diff\u00e9rentielles, les probl\u00e8mes d\u2019optimisation. Il a jou\u00e9 un r\u00f4le catalyseur dans l\u2019\u00e9mergence, au cours du si\u00e8cle dernier, de diff\u00e9rentes branches des math\u00e9matiques et de l\u2019\u00e9conomie quantitative.<\/p>\n D\u00e8s la fin des ann\u00e9es 1920, John von Neumann a per\u00e7u tout son int\u00e9r\u00eat pour poser les fondations de la th\u00e9orie des jeux et aboutir au th\u00e9or\u00e8me du minimax. En parall\u00e8le, des principes relevant davantage de la combinatoire que dans la d\u00e9monstration de Brouwer ont \u00e9t\u00e9 mis en \u00e9vidence. Le lemme de Sperner<\/a><\/span><\/span> (1928) et\u00a0le \u00ab\u00a0lemme des trois Polonais\u00a0\u00bb (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz<\/span><\/span><\/a>, 1929) offrirent \u00e0 la fois de nouvelles d\u00e9monstrations \u00e9l\u00e9gantes et des proc\u00e9d\u00e9s plus constructifs que l\u2019approche originelle de Brouwer, qui garantit l’existence d’un point fixe sans apporter de m\u00e9thode g\u00e9n\u00e9rale pour le trouver.<\/p>\n Il existe diverses variantes et extensions, par exemple dans des espaces de dimension infinie. Le th\u00e9or\u00e8me de Kakutani (1941) \u00e9tablit notamment une utile g\u00e9n\u00e9ralisation \u00e0 des applications multivoques (ou correspondances), particuli\u00e8rement adapt\u00e9e aux probl\u00e8mes de la th\u00e9orie des jeux et \u00e0 la mod\u00e9lisation \u00e9conomique. Il a \u00e9t\u00e9 popularis\u00e9 par un article[9]<\/a> et la th\u00e8se de Nash en 1950, avec une utilisation sugg\u00e9r\u00e9e par Gale. Il figure \u00e9galement au c\u0153ur des r\u00e9sultats d\u2019existence d\u2019un \u00e9quilibre g\u00e9n\u00e9ral obtenus en 1954 par Kenneth Arrow et G\u00e9rard Debreu, et ind\u00e9pendamment par Lionel McKenzie.<\/p>\n Dans cette lign\u00e9e, deux r\u00e9sultats majeurs se distinguent par la suite ([4] et [5] sont des expos\u00e9s de r\u00e9f\u00e9rence sur l\u2019ensemble du sujet)\u00a0:<\/p>\n Dans le livre, l\u2019impossibilit\u00e9 de parties nulles pour le jeu de Hex est d\u00e9montr\u00e9e avec un th\u00e9or\u00e8me \u00e9quivalent \u00e0 celui de Brouwer, dit de non r\u00e9traction\u00a0: il n\u2019existe aucune transformation continue du disque sur sa fronti\u00e8re (cercle), laissant invariants les points de cette derni\u00e8re. Une image physique est qu\u2019on ne peut pas replier sur le bord la membrane d\u2018un tambour sans la d\u00e9chirer.<\/p>\n Comme soulign\u00e9 plus haut, les auteurs consid\u00e8rent essentiellement des situations o\u00f9 le hasard n\u2019intervient pas\u00a0; ce qui est g\u00e9n\u00e9ralement le cas pour les casse-t\u00eates. Avec plusieurs joueurs, une composante al\u00e9atoire s\u2019invite beaucoup plus facilement, de fa\u00e7on intrins\u00e8que (lancer de d\u00e9s) ou par suite d\u2019une information incompl\u00e8te comme dans la plupart des jeux de cartes. Ces derniers sont consid\u00e9r\u00e9s ici uniquement sous l\u2019aspect de leur m\u00e9lange. Dans un premier temps, le cadre reste purement d\u00e9terministe avec les faux m\u00e9langes qui donnent l\u2019illusion de battre les cartes au hasard et alimentent de nombreux tours de magie. Les suites de de Bruijn[10]<\/a> sont souvent utilis\u00e9es comme m\u00e9canisme sous-jacent. A l\u2019oppos\u00e9, les vrais m\u00e9langes al\u00e9atoires constituent le premier exemple de recours au calcul des probabilit\u00e9s. Le second est le tirage r\u00e9p\u00e9t\u00e9 de piles ou faces \u00e9quiprobables et le calcul des temps d\u2019apparition de motifs (s\u00e9quences donn\u00e9es de tirages successifs). Dispositif plut\u00f4t basique, mais d\u00e9j\u00e0 tr\u00e8s riche en paradoxes et propri\u00e9t\u00e9s contre-intuitives, avec un avant-go\u00fbt du singe dactylographe de Borel. Outre les manipulations de base du calcul des probabilit\u00e9s, ces derniers chapitres illustrent l\u2019usage des cha\u00eenes de Markov, des s\u00e9ries g\u00e9n\u00e9ratrices et de distances entre lois de probabilit\u00e9s.<\/p>\n Une lecture assez captivante donc, pour revisiter sous un angle ludique et stimulant diff\u00e9rents th\u00e8mes math\u00e9matiques mis en \u0153uvre sur des \u00e9nigmes plus ou moins classiques et complexes. Elle met en \u00e9vidence comment de simples passe-temps au charme un peu surann\u00e9 se r\u00e9v\u00e8lent tout autant des points d\u2019entr\u00e9e vers le raisonnement d\u00e9ductif, des r\u00e9solutions originales et la pens\u00e9e abstraite.<\/p>\n <\/p>\n Mots-cl\u00e9s : Th\u00e9orie des jeux – Graphes – \u00c9quilibre g\u00e9n\u00e9ral.<\/em><\/p>\n <\/p>\n * \u00ab Jeux, casse-t\u00eates et math\u00e9matiques \u00bb de Yves Dutrieux et Herv\u00e9 Gianella, aux \u00e9ditions Cassini<\/a><\/span><\/span><\/em><\/p>\n Quelques pistes plus acad\u00e9miques que ludiques (quoique \u2026).<\/p>\n Deux grands classiques ind\u00e9modables sur les graphes\u00a0:<\/p>\n [1] Michel Gondran et Michel Minoux, Graphes et algorithmes<\/em>, Lavoisier (2009).<\/p>\n [2] Claude Berge, Graphes et hypergraphes<\/em>, Dunod (1970).<\/p>\n [3] Claude Berge, Espaces topologiques et fonctions multivoques<\/em>, Dunod (1959).<\/p>\n [4] Jean-Pierre Aubin, L\u2019analyse non lin\u00e9aire et ses motivations \u00e9conomiques<\/em>, Masson (1984).<\/p>\n [5] Philippe Bich, Cours d\u2019analyse fonctionnelle et convexe<\/em>, ENSAE (2008-2009).<\/p>\n Sur la th\u00e9orie des jeux\u00a0:<\/p>\n Herv\u00e9 Moulin, Fondation de la th\u00e9orie des jeux<\/em>, Hermann (1979).<\/p>\n Herv\u00e9 Moulin, Th\u00e9orie des jeux pour l\u2019\u00e9conomie et la politique<\/em>, Hermann (1981).<\/p>\n Une approche par la g\u00e9om\u00e9trie diff\u00e9rentielle\u00a0:<\/p>\n Yves Balasko, Fondements de la th\u00e9orie de l\u2019\u00e9quilibre g\u00e9n\u00e9ral<\/em>, Economica (1988).<\/p>\n Kim C.\u00a0Border,\u00a0Fixed Point Theorems with Applications to Economics and Game Theory<\/em>, Cambridge University Press (1989).<\/p>\n [1]<\/a> Un pionnier du genre avec ses R\u00e9cr\u00e9ations math\u00e9matiques<\/em> en 4 tomes parus entre 1882 et 1894.<\/p>\n [2]<\/a> Il y a aussi un petit parfum de topologie alg\u00e9brique. A une disposition (topologique) des tuiles on associe la signature (grandeur alg\u00e9brique). Pour m\u00e9moire, toute permutation est le produit d\u2019un nombre soit pair, soit impair de transpositions. On d\u00e9finit sa signature respectivement comme 1 ou -1.<\/p>\n [3]<\/a> Ouvrage de r\u00e9f\u00e9rence par un illustre professeur de \u00ab\u00a0taupe\u00a0\u00bb de l\u2019\u00e9poque\u00a0: Andr\u00e9 Warusfel, R\u00e9ussir le Rubik\u2019s Cube<\/em>, Deno\u00ebl (1981).<\/p>\n [4]<\/a> En quelques pages, un hommage de Pierre Rosenstiehl\u00a0: Claude Berge, ses graphes et hypergraphes, Math\u00e9matiques et sciences humaines<\/em>, 160 (2002).<\/p>\n [5]<\/a> C\u2019est-\u00e0-dire \u00e0 chaque \u00e9tape du jeu, une fonction de r\u00e9ponse \u00e0 chacun des coups possibles de l\u2019adversaire, qui assure la victoire \u00e0 la fin.<\/p>\n [6]<\/a> Somme sans retenue en \u00e9criture binaire, soit un OU exclusif bit par bit.<\/p>\n [7]<\/a> Un court papier in memoriam<\/em> : Monique Florenzano, Two lemmas that changed general equilibrium theory, Games and Economic Behavior<\/em> (2009).<\/p>\n [8]<\/a> Pour m\u00e9moire l\u2019ouvrage fondateur, b\u00e9b\u00e9 d\u2019un g\u00e9nie scientifique et d\u2019un \u00e9conomiste\u00a0: John\u00a0von Neumann and Oskar Morgenstern<\/a>,\u00a0Theory of Games and Economic Behavior<\/em><\/a>, Princeton University Press (1944). Le concept de noyau y est en particulier introduit.<\/p>\nJeu de maths, jeu de taquin<\/strong><\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/variances.eu\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Image2.jpg\")
Rubik\u2019s Cube et th\u00e9orie des groupes<\/strong><\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/variances.eu\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Image3.jpg\")
(Le mod\u00e8le anglais a 4 pions de moins et une forme en croix)<\/p><\/div>\nQuand les jeux cr\u00e9ent les maths<\/strong><\/h3>\n
Promenade en th\u00e9orie des graphes<\/strong><\/h3>\n
Maths et strat\u00e9gie<\/strong><\/h3>\n
![\"\"](\"https:\/\/variances.eu\/wp-content\/uploads\/2025\/07\/Image4.jpg\")
Autour du th\u00e9or\u00e8me de Brouwer<\/strong><\/h3>\n
Jeux \u00e9conomiques<\/strong><\/h3>\n
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Un peu de hasard pour finir<\/strong><\/h3>\n
\nPour aller plus loin<\/strong><\/h3>\n
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