{"id":7606,"date":"2024-08-19T07:20:51","date_gmt":"2024-08-19T05:20:51","guid":{"rendered":"https:\/\/variances.eu\/?p=7606"},"modified":"2024-08-27T10:29:35","modified_gmt":"2024-08-27T08:29:35","slug":"le-financement-quadratique-des-biens-publics","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/variances.eu\/?p=7606","title":{"rendered":"Le financement quadratique des biens publics"},"content":{"rendered":"

Cet article a initialement \u00e9t\u00e9 publi\u00e9 sur le site scienceetonnante.com, le 2 octobre 2023. Il est accessible \u00e0 l’adresse : https:\/\/scienceetonnante.substack.com\/p\/le-financement-quadratique-des-biens<\/span><\/a><\/span><\/em><\/p>\n

\n
Une formule math\u00e9matique bizarre pour mieux financer ces choses qui profitent \u00e0 tous, mais que personne ne veut payer.<\/em><\/h5>\n

Un article tr\u00e8s original traitant de la question du financement des biens publics est sorti en 2019<\/p>\n

BUTERIN, Vitalik, HITZIG, Zo\u00eb, et WEYL, E. Glen.\u00a0A flexible design for funding public goods<\/a><\/span><\/span>. Management Science, 2019, vol. 65, no 11, p. 5171-5187.<\/em><\/p>\n

Zo\u00eb Hitzig (\u00e9conomiste \u00e0 Harvard), Glen Weyl (\u00e9conomiste chez Microsoft Research) et Vitalik Buterin (connu pour \u00eatre le cr\u00e9ateur d\u2019Ethereum) proposent de traiter cette question avec un m\u00e9canisme utilisant une formule pour le moins \u00e9tonnante :\u00a0si chaque individu est pr\u00eat \u00e0 payer une certaine contribution, on ajoute les racines carr\u00e9es de toutes les contributions et on met le tout au carr\u00e9.<\/strong><\/p>\n

Ca vous parait absurde, \u00e9trange ou incompr\u00e9hensible ? Voyons ensemble ce que cela cache !<\/p>\n

Qu\u2019est-ce qu\u2019un bien public ?<\/h3>\n

Avant de d\u00e9finir un bien public, commen\u00e7ons par son contraire :\u00a0le bien priv\u00e9<\/strong>. Une pomme est un bien priv\u00e9, car c\u2019est un bien qui est \u00e0 la fois\u00a0rival et excluable<\/strong>. \u00ab\u00a0Rival<\/em>\u00a0\u00bb signifie que si je consomme la pomme, plus personne d\u2019autre ne peut la consommer. \u00ab\u00a0Excluable<\/em>\u00a0\u00bb veut dire que si j\u2019ai une pomme, je peux facilement emp\u00eacher les autres de la consommer. La quasi-totalit\u00e9 des biens que nous croisons tous les jours (objets, marchandises et autres denr\u00e9es) sont des biens priv\u00e9s.<\/p>\n

Au contraire de \u00e7a,\u00a0un bien public est un bien non-rival et non-excluable<\/strong>. \u00ab\u00a0Non-rival\u00a0\u00bb veut dire que si j\u2019en profite, \u00e7a n\u2019emp\u00eache pas les autres d\u2019en profiter aussi. \u00ab\u00a0Non-excluable\u00a0\u00bb signifie qu\u2019il est difficile voire impossible d\u2019emp\u00eacher quiconque d\u2019en profiter, m\u00eame ceux qui n\u2019ont pas particip\u00e9 \u00e0 son financement. Des exemples de biens publics, ce sont : l\u2019\u00e9clairage public, un parc municipal, des infrastructures de transport (routes ou transports publics gratuits), la radio, la connaissance scientifique, Wikip\u00e9dia, la d\u00e9fense nationale, des vid\u00e9os Youtube, le journalisme d\u2019investigation, un artiste de rue, un logiciel open-source\u2026<\/p>\n

Evidemment, dans mes exemples il y a des nuances. Certains biens peuvent \u00eatre l\u00e9g\u00e8rement rivaux (une route ou un parc municipal) car il peut y avoir congestion. D\u2019autres peuvent \u00eatre excluables \u00e0 un certain degr\u00e9 (les transports, les contenus sur Internet\u2026). On trouve parfois\u00a0une classification plus fine<\/a><\/span><\/span>\u00a0suivant les degr\u00e9s de rivalit\u00e9 ou d\u2019excluabilit\u00e9, mais dans la suite j\u2019utiliserai de fa\u00e7on g\u00e9n\u00e9rique le terme \u00ab\u00a0bien public\u00a0\u00bb pour d\u00e9signer ces biens qui r\u00e9pondent en gros \u00e0 l\u2019id\u00e9e suivante :\u00a0\u00ab\u00a0une fois que c\u2019est l\u00e0, \u00e7a profite \u00e0 tout le monde, ind\u00e9pendamment de qui l\u2019a financ\u00e9\u00a0\u00bb<\/em>.<\/p>\n

Et donc justement,\u00a0puisque les biens publics profitent \u00e0 tous, ou du moins \u00e0 ceux qui ont l\u2019envie d\u2019en profiter, comment les financer de la meilleure fa\u00e7on possible ?<\/strong><\/p>\n

Deux solutions imparfaites<\/h3>\n

Une premi\u00e8re possibilit\u00e9, c\u2019est de se reposer sur\u00a0des contributions volontaires et charitables<\/strong>. C\u2019est ce qu\u2019il se passe quand un artiste chante dans la rue et que certains lui font un don. Ou bien encore avec Wikip\u00e9dia, financ\u00e9e par les dons de (seulement) quelques millions de ses utilisateurs. Ou encore pour un journal comme le Canard Enchain\u00e9, financ\u00e9 par ses lecteurs mais dont tous le monde profite des enqu\u00eates d\u2019investigation.<\/p>\n

Sur ces exemples, on voit tr\u00e8s bien le probl\u00e8me de se reposer uniquement sur les contributions volontaires et charitables pour financer les biens publics :\u00a0personne n\u2019a d\u2019int\u00e9r\u00eat fort \u00e0 donner, et une partie des utilisateurs se comportent en\u00a0<\/strong>passagers clandestins<\/strong><\/em>\u00a0: ils profitent du bien public sans le financer. Cette absence d\u2019incitation conduit presque toujours \u00e0 un\u00a0sous-financement du bien public<\/strong>\u00a0par rapport \u00e0 ce qui serait optimal pour l\u2019ensemble du groupe.<\/p>\n

Une solution alternative pour financer un bien public, c\u2019est qu\u2019un organisme centralis\u00e9 (\u00e9tat, municipalit\u00e9\u2026) s\u2019en charge, en ayant pr\u00e9alablement collect\u00e9 les fonds n\u00e9cessaires. C\u2019est ce qu\u2019il se passe bien s\u00fbr avec la plupart des services publics essentiels. Et pourtant, cela pose la question de\u00a0comment choisir les biens publics \u00e0 financer.<\/strong>\u00a0La moins mauvaise solution semble de s\u2019en remettre \u00e0 un choix d\u00e9mocratique, o\u00f9 l\u2019organisme central prend ses d\u00e9cisions sur la bases des votes de sa population.<\/p>\n

Mais cela n\u2019est pas si simple ! Imaginons une petite ville qui envisage de r\u00e9habiliter une friche pour en faire un parc municipal. Supposons qu\u2019un tel parc soit une v\u00e9ritable am\u00e9lioration pour 40% de la population, qui en b\u00e9n\u00e9ficierait grandement. Mais imaginons que les 60% restants s\u2019en fichent, peut-\u00eatre parce qu\u2019ils ont d\u00e9j\u00e0 un jardin, et ne voient pas pourquoi la ville ferait cette d\u00e9pense. Un vote d\u00e9mocratique sur la question\u00a0\u00ab\u00a0Faut-il cr\u00e9er le parc municipal ?\u00a0\u00bb<\/em>\u00a0recueillerait donc une majorit\u00e9 de\u00a0\u00abnon\u00bb<\/em>. Le projet ne se ferait pas alors que 40% en tireraient un tr\u00e8s grand b\u00e9n\u00e9fice, tandis que les 60% restants sont juste faiblement contre. C\u2019est une forme de ce qu\u2019on appelle parfois\u00a0la tyrannie de la majorit\u00e9,<\/strong>\u00a0qui ici refuse la cr\u00e9ation d\u2019un bien public au d\u00e9triment d\u2019une minorit\u00e9 qui en aurait grandement profit\u00e9.<\/p>\n

On peut \u00e9galement prendre des exemples plus modernes : une fondation souhaite financer des d\u00e9veloppements de logiciels open-source, comment choisir lesquels ? Comment faire si un projet n\u2019int\u00e9resse qu\u2019une minorit\u00e9 d\u2019utilisateurs potentiels, mais que cela leur apporterait un b\u00e9n\u00e9fice \u00e9norme ?<\/p>\n

Bien souvent dans ces cas, on retombe de fait dans le financement volontaire charitable (avec son probl\u00e8me de passager clandestin), et m\u00eame pour beaucoup de projets, le financement n\u2019aboutit simplement pas !<\/p>\n

On voit par ces exemples que le financement efficace des biens publics pose question. Il existe une solution interm\u00e9diaire, qui m\u00e9lange une source de financement centrale avec des contributions volontaires permettant aux agents d\u2019exprimer leurs choix : l\u2019abondement.<\/p>\n

L\u2019abondement<\/h3>\n

C\u2019est un m\u00e9canisme que l\u2019on retrouve assez fr\u00e9quemment dans les politiques publiques : un organisme central choisit de ne pas d\u00e9cider parmi les biens publics \u00e0 financer, mais s\u2019engage \u00e0 abonder les contributions volontaires de ses agents. On le voit parfois avec certaines actions philanthropiques, qui proposent par exemple de doubler les contributions des dons priv\u00e9s (un article sur le sujet<\/a><\/span><\/span>)<\/p>\n

Mais on le retrouve aussi pour les gouvernements, avec le m\u00e9canisme du cr\u00e9dit d\u2019imp\u00f4t ou de la d\u00e9fiscalisation. Par exemple, si vous payez des imp\u00f4ts en France, certaines de vos contributions charitables \u00e0 des organismes d\u2019int\u00e9r\u00eat public peuvent donner lieu \u00e0 des r\u00e9ductions d\u2019imp\u00f4ts. Vous donnez 100\u20ac aux Restos du Coeur, l\u2019\u00e9tat vous donne un cr\u00e9dit d\u2019imp\u00f4t de 75%, votre don ne vous aura co\u00fbt\u00e9 que 25\u20ac. Ou bien autre fa\u00e7on de le dire, vous donnez 25\u20ac et l\u2019\u00e9tat abonde le triple de cette somme (avec un plafond \u00e0 1000\u20ac en France, ensuite c\u2019est 66%).<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Ce principe d\u2019abondement permet dans une certaine mesure de corriger certains d\u00e9fauts de la contribution charitable pure, et de la d\u00e9cision centralis\u00e9e pure. N\u00e9anmoins, on voit aussi ses limites. D\u2019une part les montants et les seuils utilis\u00e9s sont souvent arbitraires. D\u2019autre part le calcul est critiquable, car l\u2019abondement pour une personne qui donne 500\u20ac sera identique \u00e0 celui de 50 personnes donnant 10\u20ac. Ce qui semble en tension avec l\u2019id\u00e9e d\u00e9mocratique que si 50 personnes veulent une chose, l\u2019\u00e9tat devrait y accorder plus de poids que si c\u2019est une seule personne.<\/p>\n

Et c\u2019est en partie pour r\u00e9pondre \u00e0 cette tension que Vitalik Buterin, Zoe Hitzig et Glen Weyl ont propos\u00e9 en 2019 un nouveau m\u00e9canisme : le financement quadratique. L\u2019id\u00e9e est simple, bien qu\u2019un peu bizarre au premier abord.<\/p>\n

Le financement quadratique<\/h3>\n

Avec le financement quadratique, si des agents souhaitent financer un certain bien public, ils peuvent faire une contribution de leur choix. L\u2019organisme central collecte ces contributions volontaires et finance alors le bien public avec le montant suivant : on prend la racine carr\u00e9e de chaque contribution, on les ajoute, et on met le tout au carr\u00e9. Hein, quoi ? Prenons un exemple !<\/p>\n

Imaginons qu\u2019il n\u2019y ait que deux personnes int\u00e9ress\u00e9es. Alice d\u00e9cide de contribuer d\u2019une somme a, et Bob de contribuer d\u2019une somme b. L\u2019\u00e9tat collecte les contributions a et b, et affecte au financement du bien public la somme suivante :<\/p>\n

\"F = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2\"<\/p>\n

On a pris les racines des deux contributions, on les a ajout\u00e9es, et on a mis la somme totale au carr\u00e9. Ca ne semble pas avoir beaucoup de sens de prendre la racine carr\u00e9e d\u2019une somme d\u2019argent, mais d\u00e9veloppons le carr\u00e9 pour voir (souvenez vous de vos identit\u00e9s remarquables)<\/p>\n

\"F = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\"<\/p>\n

On voit que le niveau de financement total F est \u00e9gal \u00e0 la somme des contributions initiales (a+b)\u00a0augment\u00e9e d\u2019un abondement<\/strong>\u00a0\u00e9gal \u00e0<\/p>\n

\"2\sqrt{ab}\"<\/p>\n

C\u2019est un terme qui \u00ab\u00a0croise\u00a0\u00bb les contributions d\u2019Alice et de Bob.<\/p>\n

Et on peut appliquer cette logique quand il y a un nombre quelconque d\u2019agents.\u00a0Le niveau de financement sera toujours \u00e9gal \u00e0 la somme des contributions d\u2019origine, augment\u00e9e d\u2019un abondement qui correspond \u00e0 tous les termes crois\u00e9s possibles entre tous les agents<\/strong>. Pour les fans de formules<\/p>\n

\"F = \left(\sum_i \sqrt{x_i}\right)^2 = \sum_i x_i + \sum_{i,j} \sqrt{x_ix_j}\"<\/p>\n

En particulier, on voit que si N personnes sont int\u00e9ress\u00e9es et mettent toutes la m\u00eame contribution X, le niveau de financement total sera<\/p>\n

\"F = N^2X\"<\/p>\n

et\u00a0augmente donc avec le carr\u00e9 du nombre de personnes impliqu\u00e9es<\/strong>\u00a0! Si on revient \u00e0 l\u2019exemple du financement d\u2019un parc municipal ou d\u2019un logiciel, 100 personnes qui contribuent chacune 10\u20ac engendreront un abondement 10 fois plus important que 10 personnes qui contribuent chacune 100\u20ac.<\/p>\n

Quand le nombre de participants devient important, on arrive donc vite \u00e0 des cas o\u00f9 la majorit\u00e9 du financement provient de l\u2019abondement, en accord avec une logique de planification centralis\u00e9e, mais o\u00f9 les petites contributions volontaires permettent d\u2019orienter les choix publics.<\/p>\n

Evidemment,\u00a0cela suppose qu\u2019il y a un pool d\u2019argent central \u00e0 affecter<\/strong>, et donc que cet argent a \u00e9t\u00e9 collect\u00e9 d\u2019une fa\u00e7on ou d\u2019une autre (imp\u00f4t dans le cas d\u2019une puissance publique, philanthropie dans le cas d\u2019une fondation, etc.). Si la formule quadratique aboutit \u00e0 un abondement qui d\u00e9passe le montent de l\u2019argent central disponible, il est toujours possible de r\u00e9aliser un prorata.<\/p>\n

Alors il est vrai que ce m\u00e9canisme a l\u2019air plut\u00f4t sympathique, mais\u00a0pourquoi cette formule quadratique bizarre ? Eh bien parce que c\u2019est la meilleure possible<\/strong>\u00a0! Au moins\u2026en th\u00e9orie ! On a vu que le fait de prendre le carr\u00e9 de la somme des racines fait apparaitre des termes crois\u00e9s pour toutes les paires d\u2019agents. Ces termes repr\u00e9sentent intuitivement le caract\u00e8re \u00ab\u00a0public\u00a0\u00bb du bien : le niveau d\u2019investissement d\u2019un agent aurait des cons\u00e9quences positives sur tous les autres agents, mais comme ce b\u00e9n\u00e9fice crois\u00e9 n\u2019est pas pris en compte dans les choix individuels, les agents sous-financent, et c\u2019est donc l\u2019\u00e9tat qui abonde cette contribution crois\u00e9e.<\/p>\n

Mais on peut formaliser \u00e7a avec des maths ! C\u2019est tr\u00e8s joli, les allergiques peuvent sauter la partie \u00e0 venir.<\/p>\n

L\u2019optimalit\u00e9 du financement quadratique<\/h3>\n

Dans cette partie, je vais exposer la d\u00e9monstration de Buterin, Hitzig et Weyl qui d\u00e9montre que\u00a0le financement quadratique est le meilleur m\u00e9canisme possible, celui qui aboutit au niveau de financement optimal d\u2019un bien public<\/strong>. Tout cela est \u00e9videmment tr\u00e8s formel, et repose sur les hypoth\u00e8ses habituelles de ces raisonnements micro-\u00e9conomiques math\u00e9matis\u00e9s (tout le monde est rationnel, a toutes les informations, agit de fa\u00e7on purement \u00e9go\u00efste, etc.)<\/p>\n

Pour introduire les id\u00e9es, commen\u00e7ons par le cas simple d\u2019un unique agent qui cherche \u00e0 d\u00e9terminer son niveau de contribution pour l\u2019achat d\u2019un bien priv\u00e9, par exemple des pommes. Disons que le kilo de pommes co\u00fbte 3 euros, combien doit-il en acheter ? Eh bien cela d\u00e9pend \u00e9videmment de son envie de pommes ! Pour cela, les \u00e9conomistes utilisent une quantit\u00e9 qu\u2019ils appellent\u00a0l\u2019utilit\u00e9<\/strong>. Attention, ce terme d\u2019\u00a0\u00abutilit\u00e9\u00bb a un sens diff\u00e9rent du sens commun usuel. Il d\u00e9signe en quelque sorte le niveau de bonheur, de satisfaction ou encore de bien-\u00eatre des agents, que leur procure une certaine quantit\u00e9 d\u2019un bien. L\u2019utilit\u00e9, c\u2019est ce qu\u2019un agent cherche \u00e0 maximiser quand il prend une d\u00e9cision.<\/p>\n

Si mon agent a faim et appr\u00e9cie les pommes, acheter des pommes engendrera un certain niveau d\u2019utilit\u00e9 pour lui. Mais cette utilit\u00e9 va \u00e9videmment d\u00e9pendre de la quantit\u00e9 achet\u00e9e. S\u2019il ach\u00e8te un kilo (pour 3\u20ac), il aura un certain niveau de satisfaction. Mais s\u2019il ach\u00e8te 2 kilos (pour 6\u20ac), il aura une satisfaction plus \u00e9lev\u00e9e. Pour autant, avec 2 kilos, sa satisfaction ne sera probablement pas le double d\u2019avec 1 kg. Chaque pomme suppl\u00e9mentaire qu\u2019il acquiert continue d\u2019augmenter sa satisfaction, mais moins que la pomme pr\u00e9c\u00e9dente.<\/p>\n

Cela signifie qu\u2019on a une relation de ce genre :<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Math\u00e9matiquement, on dit que\u00a0la fonction d\u2019utilit\u00e9 est concave<\/strong>. Une autre fa\u00e7on de le dire, c\u2019est que sa d\u00e9riv\u00e9e est d\u00e9croissante, la pente de la courbe est de plus en plus faible, ce qui traduit le fait que\u00a0chaque unit\u00e9 suppl\u00e9mentaire apporte moins de satisfaction que la pr\u00e9c\u00e9dente<\/strong>\u00a0: on parle d\u2019utilit\u00e9 marginale d\u00e9croissante.<\/p>\n

Dans le cas pr\u00e9c\u00e9dent, j\u2019ai illustr\u00e9 l\u2019utilit\u00e9 comme \u00e9tant une fonction de la quantit\u00e9. Mais si on se place dans un cas o\u00f9 le co\u00fbt unitaire est connu et fixe, on peut simplement prendre l\u2019utilit\u00e9 comme une fonction de l\u2019argent d\u00e9pens\u00e9. Ainsi\u00a0u(x) repr\u00e9sentera l\u2019utilit\u00e9 associ\u00e9e \u00e0 l\u2019achat d\u2019un montant x de pommes<\/strong>.<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

Mais au fait, avec quelle unit\u00e9 on compte l\u2019utilit\u00e9 ? Eh bien on peut parfaitement la compter en unit\u00e9 mon\u00e9taire \u00e9galement. Si l\u2019achat d\u2019un bien procure une utilit\u00e9 de 10\u20ac, cela repr\u00e9sente une satisfaction qui est \u00e9quivalente \u00e0 celle de poss\u00e9der 10\u20ac en argent. Oui je sais, c\u2019est bizarre de compter le bonheur en euros, mais c\u2019est une mod\u00e9lisation math\u00e9matique simplifi\u00e9e !<\/p>\n

Imaginons donc que l\u2019on connaisse u(x), l\u2019utilit\u00e9 (en euros) associ\u00e9e \u00e0 l\u2019acquisition de pommes pour un montant total x. Combien faut-il en acheter ? Faisons le bilan net de l\u2019op\u00e9ration : si on d\u00e9pense x pour acqu\u00e9rir des pommes, notre utilit\u00e9 augmentera de u(x) du fait de la possession des pommes, mais en contrepartie diminuera de x du fait de l\u2019argent d\u00e9pens\u00e9.<\/p>\n

L\u2019utilit\u00e9 nette n(x) est<\/p>\n

\"n(x) = u(x) - x\"<\/p>\n

Cette utilit\u00e9 nette va avoir une forme de ce type<\/p>\n

\"\"<\/p>\n

On voit qu\u2019elle poss\u00e8de un maximum. Maintenant ce que cherche \u00e0 faire un bon agent \u00e9conomique rationnel, c\u2019est \u00e0 maximiser son utilit\u00e9 nette. Il doit donc trouver la quantit\u00e9 x* qui correspond \u00e0 ce maximum.<\/p>\n

Un maximum est en particulier un point o\u00f9 la d\u00e9riv\u00e9e de n() s\u2019annule. On veut donc trouver x* tel que n\u2019(x*) = 0. Puisque n(x)=u(x)-x, on veut trouver x* tel que<\/p>\n

\"u'(x^*) = 1\"<\/p>\n

Retenez bien cette \u00e9galit\u00e9, elle est fondamentale. Elle montre que\u00a0le choix optimal, c\u2019est de d\u00e9penser la quantit\u00e9 x* pour laquelle la d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019utilit\u00e9 associ\u00e9e au bien est 1<\/strong>. La d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019utilit\u00e9, on l\u2019a dit, c\u2019est l\u2019utilit\u00e9 marginale, c\u2019est-\u00e0-dire l\u2019utilit\u00e9 suppl\u00e9mentaire associ\u00e9e \u00e0 une d\u00e9pense suppl\u00e9mentaire de 1. Si cette d\u00e9riv\u00e9e vaut 1 en x*, \u00e7a veut dire qu\u2019on a atteint le point d\u2019indiff\u00e9rence : 1\u20ac en argent ou 1\u20ac de pommes suppl\u00e9mentaires, \u00e7a nous procure le m\u00eame plaisir.<\/p>\n

Ca, c\u2019\u00e9tait pour un bien priv\u00e9 financ\u00e9 par un unique agent. Passons maintenant au cas d\u2019un bien public !<\/p>\n

Imaginons qu\u2019il y ait N agents (indic\u00e9s par i), et que chaque agent puisse faire une contribution x au bien public. Dans le cas de contributions charitables et volontaires, le niveau de financement total F du bien public sera simplement la somme des contributions<\/p>\n

\"F = \sum_i x_i\"<\/p>\n

Imaginons que chaque agent ait une utilit\u00e9 u() qui lui soit propre, et qui soit une fonction non pas de sa seule contribution, mais du montant total auquel a \u00e9t\u00e9 financ\u00e9 le bien commun. (C\u2019est intuitif : plus le parc a re\u00e7u un financement total important, plus il procurera de plaisir aux agents) Chaque agent a donc une utilit\u00e9 qui d\u00e9pend de F<\/p>\n

\n
\"u_i(F) = u_i\left(\sum_j x_j\right)\"<\/div>\n<\/div>\n

Son utilit\u00e9 nette sera donc<\/p>\n

\n
\"n_i = u_i(F) - x_i\"<\/div>\n<\/div>\n

Si chacun optimise \u00e9go\u00efstement, cela veut dire qu\u2019il cherche son niveau de contribution qui maximise sa propre utilit\u00e9 nette. En annulant la d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019utilit\u00e9 nette par rapport \u00e0 \u00e0 sa contribution x_i, on trouve :<\/p>\n

\n
\"u'_i(F) = 1\"<\/div>\n<\/div>\n

o\u00f9 on a utilis\u00e9 de fa\u00e7on cruciale que<\/p>\n

\n
\"\frac{\partial F}{\partial x_i} = 1\"<\/div>\n<\/div>\n

puisque F est une simple somme des contributions.<\/p>\n

Maintenant regardons\u00a0l\u2019utilit\u00e9 nette totale de l\u2019ensemble du groupe<\/strong>, si un niveau global de financement F pour le bien public a \u00e9t\u00e9 atteint. Elle vaut<\/p>\n

\n
\"N(F) = U(F) - F = \sum_i u_i(F) - F\"<\/div>\n<\/div>\n

Si le choix global \u00e9tait\u00a0socialement optimal<\/strong>, la d\u00e9riv\u00e9e par rapport \u00e0 F de cette quantit\u00e9 devrait \u00eatre nulle. Cela signifierai que collectivement, avoir d\u00e9pens\u00e9 1\u20ac de plus n\u2019aurait pas amen\u00e9 plus d\u2019utilit\u00e9 globale. Regardons si c\u2019est le cas ! On d\u00e9rive cette utilit\u00e9 nette par rapport \u00e0 F<\/p>\n

\n
\"N'(F) = \sum_i u'_i(F) - 1\"<\/div>\n<\/div>\n

Utilisons maintenant ce qu\u2019on a vu au dessus, c\u2019est-\u00e0-dire que chaque agent a r\u00e9gl\u00e9 sa propre contribution de fa\u00e7on \u00e0 ce que<\/p>\n

\n
\"u'_i(F) = 1\"<\/div>\n<\/div>\n

Cela signifie que dans la somme sur i dans l\u2019expression de N\u2019(F), chacun des termes de la somme vaut 1. On a donc pour la d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019utilit\u00e9 totale nette<\/p>\n

\n
\"N'(F) = \sum_i (1) - 1 = N - 1.\"<\/div>\n<\/div>\n

Elle ne vaut pas z\u00e9ro (sauf si N=1), et donc on est pas \u00e0 l\u2019optimum. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, le fait que cette d\u00e9riv\u00e9e, qui est l\u2019utilit\u00e9 marginale collective, soit positive (et m\u00eame tr\u00e8s positive si N est grand) cela signifie que l\u2019on pourrait encore largement augmenter l\u2019utilit\u00e9 totale si on arrivait \u00e0 augmenter le niveau de financement.\u00a0Le bien public est donc largement sous-financ\u00e9.<\/strong>\u00a0Si chacun optimise \u00e9go\u00efstement dans son coin, on est loin de l\u2019optimum social.<\/p>\n

Voyons maintenant le m\u00e9canisme de financement quadratique. Il est en fait tr\u00e8s similaire \u00e0 ce qu\u2019on vient de faire, \u00e0 part qu\u2019on a maintenant comme fonction de financement<\/p>\n

\n
\"F = \left(\sum_i \sqrt{x_i}\right)^2\"<\/div>\n<\/div>\n

Si on reprend le raisonnement tenu par chaque agent, qui cherche \u00e0 trouver la contribution qui maximise sa propre utilit\u00e9 nette, on trouve maintenant quelque chose de plus compliqu\u00e9. En d\u00e9rivant par rapport \u00e0 x_i on trouve<\/p>\n

\n
\"\frac{\partial n_i}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}\left\{u_i(F) - x_i \right\} = \frac{\partial F}{\partial x_i} u'_i(F) - 1\"<\/div>\n<\/div>\n

Et donc l\u2019annulation de la d\u00e9riv\u00e9e donne<\/p>\n

\n
\"u'_i(F) = (\frac{\partial F}{\partial x_i})^{-1}\"<\/div>\n<\/div>\n

On peut calculer explicitement la d\u00e9riv\u00e9e partielle pour le m\u00e9canisme F de financement quadratique, on trouve alors que<\/p>\n

\n
\"u'_i(F) = \frac{\sqrt{x_i}}{\sum_j \sqrt{x_j}}\"<\/div>\n<\/div>\n

On peut revenir \u00e0 notre calcul de la d\u00e9riv\u00e9e de l\u2019utilit\u00e9 nette globale, et injecter cette valeur dans<\/p>\n

\n
\"N'(F) = \sum_i u'_i(F) - 1\"<\/div>\n<\/div>\n

Et je vous laisse v\u00e9rifier qu\u2019on trouve que c\u2019est z\u00e9ro ! (l\u00e0 o\u00f9 on trouvait N-1 avant). On est \u00e0 l\u2019optimum social.\u00a0Le financement quadratique permet donc de faire en sorte que l\u2019on atteigne le niveau de financement optimal, m\u00eame si chaque agent optimise son utilit\u00e9 dans son coin.<\/strong><\/p>\n

Que faire de ce m\u00e9canisme ?<\/h3>\n

Je vous l\u2019accorde, tout cela est tr\u00e8s th\u00e9orique, mais \u00e7a me semble suffisamment int\u00e9ressant pour qu\u2019on se penche un peu dessus. Il y a plein de probl\u00e8mes d\u2019impl\u00e9mentation d\u00e9j\u00e0 relev\u00e9s par les auteurs dans\u00a0leur papier<\/a><\/span><\/span>\u00a0(voir \u00e9galement\u00a0cette critique<\/a><\/span><\/span>), comme par exemple\u00a0la n\u00e9cessit\u00e9 d\u2019assurer une identit\u00e9 unique pour chaque agent<\/strong>\u00a0(qu\u2019il ne puisse pas contribuer sous deux noms diff\u00e9rents) ou encore d\u2019\u00e9viter les collusions<\/strong>\u00a0(\u201cje finance ton truc pour que tu finances le mien en retour\u201d<\/em>).<\/p>\n

N\u00e9anmoins, l\u2019id\u00e9e me semble suffisamment stimulante pour que l\u2019on puisse imaginer des tests \u00e0 petite \u00e9chelle (attribution de financement participatif par exemple), et voir ce qu\u2019il en retourne ! On pourrait aussi imaginer des variantes interm\u00e9diaires entre le financement participatif volontaire et le financement quadratique, avec une formule du type<\/p>\n

\n
\"F = \left(\sum_i x_i^{1/\alpha}\right)^\alpha\"<\/div>\n<\/div>\n

En particulier on voit que dans la vraie vie, le financement participatif volontaire donne des r\u00e9sultats moins pires que la th\u00e9orie (qui pr\u00e9voit essentiellement que personne ne fait quoi que ce soit). Les gens sont moins \u00e9go\u00efste que ce que ne pr\u00e9voit la th\u00e9orie de l\u2019homo economicus<\/em>\u00a0ultra-rationnel (ou plut\u00f4t, ils comptent dans leur utilit\u00e9 le plaisir de contribuer \u00e0 une bonne cause\u2026) Donc peut-\u00eatre qu\u2019un m\u00e9canisme de financement moins ambitieux que le financement quadratique (alpha=1.5 par exemple) donnerait d\u00e9j\u00e0 des r\u00e9sultats int\u00e9ressants sans avoir un effet d\u2019explosion de l\u2019abondement d\u00e8s qu\u2019on est beaucoup.<\/p>\n

Si le sujet vous int\u00e9resse, vous pourrez aussi avoir envie de lire des choses sur le vote quadratique, un m\u00e9canisme reli\u00e9, ou encore les radical markets, qui proposent en plus un m\u00e9canisme original de taxe pour financer l\u2019abondement. J\u2019en parlerai un jour !<\/p>\n

 <\/p>\n

Mots-cl\u00e9s : Financement – Biens publics – Abondement – Fiscalit\u00e9 – Utilit\u00e9<\/em><\/p>\n

 <\/p>\n

Cet article a \u00e9t\u00e9 initialement publi\u00e9 le 5 octobre 2023.<\/em><\/p>\n

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Cet article a initialement \u00e9t\u00e9 publi\u00e9 sur le site scienceetonnante.com, le 2 octobre 2023. Il est accessible \u00e0 l’adresse : https:\/\/scienceetonnante.substack.com\/p\/le-financement-quadratique-des-biens Une formule math\u00e9matique bizarre pour mieux financer ces choses qui profitent \u00e0 tous, mais que personne ne veut payer. Un article tr\u00e8s original traitant de la question du financement des biens publics est sorti […]<\/p>\n","protected":false},"author":468,"featured_media":7621,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_et_pb_use_builder":"","_et_pb_old_content":"","_et_gb_content_width":"","_exactmetrics_skip_tracking":false,"_exactmetrics_sitenote_active":false,"_exactmetrics_sitenote_note":"","_exactmetrics_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[9,190],"tags":[],"class_list":["post-7606","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-economie","category-engagement","et-has-post-format-content","et_post_format-et-post-format-standard"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7606","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/468"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=7606"}],"version-history":[{"count":4,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7606\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":8228,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/7606\/revisions\/8228"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/7621"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=7606"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=7606"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/variances.eu\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=7606"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}