{"id":4758,"date":"2020-02-27T07:20:46","date_gmt":"2020-02-27T05:20:46","guid":{"rendered":"http:\/\/variances.eu\/?p=4758"},"modified":"2020-04-29T09:54:52","modified_gmt":"2020-04-29T07:54:52","slug":"2020-annee-auto-descriptive-des-chiffres-qui-nous-donnent-a-lire","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/variances.eu\/?p=4758","title":{"rendered":"2020, ann\u00e9e auto-descriptive\u2026 des chiffres qui nous donnent \u00e0 lire !"},"content":{"rendered":"

L\u2019auto-description\u00a0: une intrigante propri\u00e9t\u00e9<\/em><\/h3>\n

Bienvenue en 2020, deuxi\u00e8me ann\u00e9e \u00ab\u00a0auto-descriptive\u00a0\u00bb de notre \u00e8re\u00a0! Le mill\u00e9sime 2020 est un nombre auto-descriptif parce que chacun de ses chiffres, rep\u00e9r\u00e9 par son num\u00e9ro de rang, de 0 \u00e0 3 \u00e0 partir de la gauche, indique combien de fois ce num\u00e9ro apparait en tant que chiffre, dans l\u2019\u00e9criture du nombre 2020. Ainsi, 2020 contient 2 fois le chiffre 0, 0 fois le chiffre 1, 2 fois le chiffre 2 et\u00a00 fois le chiffre 3.<\/p>\n

Conform\u00e9ment \u00e0 son appellation, un nombre auto-descriptif se raconte en quelque sorte lui-m\u00eame\u00a0: par la voix de son chiffre le plus \u00e0 gauche, il dit\u00a0 combien il comporte de z\u00e9ros\u00a0; puis, tour \u00e0 tour, par les voix de ses chiffres successifs en se d\u00e9pla\u00e7ant vers la droite, il dit combien il comporte de uns, de deux, de trois, etc.<\/p>\n

Gare aux pi\u00e8ges tendus au profane !<\/p>\n

Tout d\u2019abord, le nombre 0, dont la singularit\u00e9 fascine, n\u2019est pas un nombre auto-descriptif, tout au contraire\u00a0: il est le nombre auto-n\u00e9gationniste par excellence, puisque le chiffre 0, plac\u00e9 en son unique rang \u00e9ponyme, d\u00e9nie sa propre existence d\u2019une mani\u00e8re \u00e9hont\u00e9e.<\/p>\n

Ensuite, en d\u00e9pit d\u2019une illusion trompeuse, des nombres tels que 10, 200, ou encore 3000, ne sont pas davantage auto-descriptifs, puisque leur premier chiffre n\u2019est pas signal\u00e9 par la pr\u00e9sence d\u2019un 1 au rang correspondant.<\/p>\n

Le sujet est donc moins \u00e9vident qu\u2019il n\u2019y para\u00eet au premier abord : n\u2019est pas auto-descriptif qui veut ! Oubliez notamment la tentation de Marignan, 1515, ou autres 1111, 1212\u2026, 1919. Dans la s\u00e9rie des dates en doublet, seule 2020 est auto-descriptive.<\/p>\n

Suites auto-descriptives<\/em><\/h3>\n

Comme souvent en math\u00e9matiques, d\u2019abord g\u00e9n\u00e9raliser le probl\u00e8me pos\u00e9 aide ensuite \u00e0 mieux le r\u00e9soudre. Il convient, \u00e0 cet \u00e9gard, de noter que l\u2019auto-description est une propri\u00e9t\u00e9 qui se rapporte, non pas intrins\u00e8quement \u00e0 un nombre en tant qu\u2019\u00eatre arithm\u00e9tique, mais \u00e0 l\u2019\u00e9criture de ce nombre en tant que s\u00e9quence de ses chiffres. Autrement dit, pour affirmer que l\u2019\u00e9criture 2020 est auto-descriptive, il n\u2019est pas utile de savoir que, dans le syst\u00e8me de num\u00e9ration d\u00e9cimal, le nombre sous-jacent vaut deux fois mille, plus z\u00e9ro fois cent, plus deux fois dix, plus z\u00e9ro fois 1. En termes linguistiques, l\u2019auto-description est une propri\u00e9t\u00e9 \u00ab\u00a0orthographique\u00a0\u00bb, et non pas \u00ab\u00a0s\u00e9mantique\u00a0\u00bb, d\u2019un nombre. C\u2019est pourquoi nous raisonnerons, dans un premier temps, sur l\u2019ensemble des suites de nombres entiers, en remarquant que, dans un syst\u00e8me num\u00e9ral de base donn\u00e9, notamment le syst\u00e8me d\u00e9cimal, un nombre n\u2019est autre qu\u2019une suite particuli\u00e8re\u00a0: celle form\u00e9e par la s\u00e9quence des entiers qui constituent ses chiffres.<\/p>\n

Par d\u00e9finition, une suite enti\u00e8re est auto-descriptive si et seulement si chacun de ses termes a pour valeur la multiplicit\u00e9 du rang de ce terme, en tant que valeur au sein de la suite. Cette d\u00e9finition \u00e9tablit un couplage \u00e9troit entre les valeurs des termes et leurs rangs\u00a0: chaque rang est potentiellement la valeur d\u2019un ou plusieurs termes d\u2019une suite auto-descriptive.<\/p>\n

L\u2019identification exhaustive des suites auto-descriptives\u00a0proc\u00e8de commod\u00e9ment en huit \u00e9tapes \u00e9l\u00e9mentaires de d\u00e9monstration, chacune ais\u00e9e \u00e0 prouver \u00e0 partir des pr\u00e9c\u00e9dentes. \u00c0 vous de jouer, amis lecteurs\u00a0!<\/p>\n

\u00c9tape 1<\/em>. La valeur du terme de t\u00eate, au rang 0, ne peut \u00eatre nulle.<\/p>\n

\u00c9tape 2<\/em>. La valeur de chacun des termes est strictement major\u00e9e par la taille de la suite.<\/p>\n

\u00c9tape 3<\/em>. La somme des valeurs de tous les\u00a0 termes de la suite est \u00e9gale \u00e0 la taille de celle-ci.<\/p>\n

\u00c9tape 4<\/em>. Le terme de t\u00eate \u00e9tant exclu, la somme cumul\u00e9e des autres termes de la suite est \u00e9gale au nombre de ceux d\u2019entre eux qui ne sont pas nuls, augment\u00e9 d\u2019une unit\u00e9.<\/p>\n

\u00c9tape 5<\/em>. Les valeurs des termes non nuls, hors le terme de t\u00eate, comprennent un et un seul 2 et, au plus, deux 1.<\/p>\n

\u00c9tape 6<\/em>. L\u2019unique 2 figurant au-del\u00e0 du rang 0 est situ\u00e9 au rang 1 ou au rang 2.<\/p>\n

\u00c9tape 7<\/em>. Si un seul 1 figure au-del\u00e0 du rang 0, alors il est plac\u00e9, soit au rang 1, soit au rang 2\u00a0; et si deux 1 figurent au-del\u00e0 du rang 0, alors l\u2019un d\u2019eux est plac\u00e9 au rang 2 et l\u2019autre \u00e0 un rang strictement sup\u00e9rieur \u00e0\u00a02.<\/p>\n

\u00c9tape 8<\/em>. En cons\u00e9quence de l\u2019\u00e9tape 5, ou bien aucun terme de valeur 1 ne figure au-del\u00e0 de la t\u00eate de suite, ou bien un seul, ou bien deux. En examinant ces trois cas tour \u00e0 tour et en s\u2019appuyant sur les acquis des diff\u00e9rentes \u00e9tapes, on est en mesure de pr\u00e9ciser les rangs portant l\u2019unique 2, ainsi que ceux portant les \u00e9ventuels 1. Vient ensuite la valeur du terme de rang 0, qui permet finalement de d\u00e9nombrer et placer les 0 de la suite.<\/p>\n

Supposons franchies les \u00e9tapes 1 \u00e0 7 et traitons le premier cas de l\u2019\u00e9tape 8. Si, par hypoth\u00e8se, aucun 1 n\u2019est pr\u00e9sent au-del\u00e0 du rang 0, l\u2019unique 2 pr\u00e9sent au-del\u00e0 de ce rang ne peut figurer au rang 1. Il figure par cons\u00e9quent au rang 2, d\u2019apr\u00e8s l\u2019\u00e9tape 6. Il existe donc deux termes de valeur 2 dans la suite, dont l\u2019un n\u00e9cessairement au rang 0, o\u00f9 il annonce deux 0, aux rangs encore libres, soit 1 et 3. D\u2019o\u00f9 2, 0, 2, 0, seule suite auto-descriptive d\u00e9pourvue de 1\u00a0!<\/p>\n

En proc\u00e9dant de m\u00eame pour les deux autres cas de l\u2019\u00e9tape 8 et en classant les suites par ordre de taille, on obtient l\u2019inventaire complet des suites auto-descriptives :<\/p>\n

n\u00a0= 1, 2, 3 ou 6 : aucune suite auto-descriptive\u00a0;<\/p>\n

n = 4 : deux suites auto-descriptives, soit 1, 2, 1, 0 et 2, 0, 2, 0\u00a0;<\/p>\n

n = 5 : une seule suite auto-descriptive, soit 2, 1, 2, 0, 0\u00a0;<\/p>\n

n \u2265 7 : une suite auto-descriptive pour chaque taille n donn\u00e9e, soit<\/p>\n

(n \u2013 4), 2, 1, 0 [(n \u2013 7) fois<\/em>], 1, 0, 0, 0.<\/p>\n

Nombres auto-descriptifs<\/em><\/h3>\n

L\u2019\u00e9criture d\u2019un nombre dans le syst\u00e8me d\u00e9cimal de num\u00e9ration n\u2019est autre que la suite de ses chiffres, c\u2019est-\u00e0-dire une suite de nombres strictement inf\u00e9rieurs \u00e0 10.<\/p>\n

Quelles sont les suites auto-descriptives qui peuvent se \u00ab\u00a0lire\u00a0\u00bb comme des nombres \u00e9crits en syst\u00e8me d\u00e9cimal, ces nombres m\u00e9ritant d\u00e8s lors le label \u00ab\u00a0auto-descriptif\u00a0\u00bb\u00a0? La r\u00e9ponse semble ais\u00e9e : un nombre ne pouvant commencer par un 0, ce sont les suites auto-descriptives dont le terme de t\u00eate est un chiffre positif, c\u2019est-\u00e0-dire un entier compris entre 1 et 9.<\/p>\n

Hum… pas tout \u00e0 fait, en raison d\u2019une exigence suppl\u00e9mentaire : alors qu\u2019une suite auto-descriptive est une description des termes de cette suite, un nombre auto-descriptif est une description des chiffres de ce nombre ; or, puisqu\u2019un chiffre d\u00e9cimal ne peut prendre que 10 valeurs distinctes, la taille maximale d\u2019un nombre auto-descriptif est n\u00a0=\u00a010 : au-del\u00e0 du rang 9, les chiffres ne d\u00e9nombreraient plus des chiffres, mais des nombres d\u2019au moins deux chiffres !<\/p>\n

D\u2019o\u00f9 la liste exhaustive, par ordre croissant, des sept seuls entiers naturels auto-descriptifs :<\/p>\n

1 210\u00a0; 2\u00a0020\u00a0; 21\u00a0200\u00a0; 3 211\u00a0000\u00a0; 42 101\u00a0000\u00a0; 521 001\u00a0000\u00a0; 6 210 001 000.<\/p>\n

Ces nombres sont r\u00e9pertori\u00e9s (depuis ao\u00fbt 2019), sous les appellations de \u00ab\u00a0nombres autobiographiques\u00a0\u00bb ou \u00ab\u00a0nombres curieux\u00a0\u00bb, \u00e0 la rubrique A046043 de\u00a0\u00a0l\u2019Encyclop\u00e9die en ligne des suites enti\u00e8res (OEIS, Online Encyclopedia of Integer Sequences<\/em>)[1]<\/sup><\/a>.<\/p>\n

Plongeant les nombres auto-descriptifs d\u00e9cimaux dans le calendrier gr\u00e9gorien, on s\u2019aper\u00e7oit qu\u2019ils rep\u00e8rent des dates passablement rares\u00a0:<\/p>\n