{"id":4139,"date":"2019-05-24T07:40:10","date_gmt":"2019-05-24T05:40:10","guid":{"rendered":"http:\/\/variances.eu\/?p=4139"},"modified":"2019-05-24T07:52:15","modified_gmt":"2019-05-24T05:52:15","slug":"du-pari-au-marche-predictif","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/variances.eu\/?p=4139","title":{"rendered":"Du pari au \u00ab march\u00e9 pr\u00e9dictif \u00bb"},"content":{"rendered":"

Les paris sportifs ont longtemps passionn\u00e9 les \u00e9conomistes et les statisticiens. Griffith (1949) a montr\u00e9 tr\u00e8s t\u00f4t que les parieurs de courses de chevaux mettent trop d’argent sur les chevaux qui ont peu de chances de gagner, et trop peu sur ceux qui ont le plus de chances de gagner. Cette tendance \u00e0 sous-ench\u00e9rir sur l’\u00e9v\u00e9nement le plus probable a \u00e9t\u00e9 observ\u00e9e dans tous les paris sportifs, o\u00f9 \u00ab l’\u00e9v\u00e9nement le plus probable \u00bb est calcul\u00e9 sur la base de statistiques r\u00e9centes. Et elle peut \u00eatre expliqu\u00e9e de mani\u00e8re fondamentale par la m\u00e9canique des paris mutuels : le parieur oppose ses croyances \u00e0 celles de la foule, car les divers paris vont d\u00e9terminer les cotes.<\/p>\n

La pr\u00e9vision avant les sondages<\/h3>\n

Aujourd\u2019hui, dans les mois qui pr\u00e9c\u00e8dent chaque \u00e9lection, on se retrouve noy\u00e9 sous les sondages, effectu\u00e9s tous les jours (et comment\u00e9s plusieurs fois par jour, comme si du bruit d\u2019estimation m\u00e9ritait des ex\u00e9g\u00e8ses). Comme le rappelait Fr\u00e9d\u00e9ric Dabi (directeur g\u00e9n\u00e9ral adjoint de l\u2019Ifop) dans un d\u00e9bat organis\u00e9 par la revue Risques<\/a> <\/span><\/span>en 2017, \u00ab les sondages sont une indication du rapport des forces \u00e9lectorales, en aucun cas une pr\u00e9diction \u00bb, mais c\u2019est pourtant bien souvent dans l\u2019id\u00e9e d\u2019avoir une pr\u00e9diction qu\u2019ils sont utilis\u00e9s.<\/p>\n

Mais si on remonte dans le temps, Rhode & Strumpf (2008) rappelle que d\u2019autres techniques ont \u00e9t\u00e9 utilis\u00e9es, avant que l\u2019id\u00e9e des sondages ne s\u2019impose, en particulier les paris. En 1549, Matteo Dandolo (ambassadeur de V\u00e9n\u00e9tie) notait que \u00ab il est donc plus que clair que les commer\u00e7ants sont tr\u00e8s bien inform\u00e9s de l’\u00e9tat du scrutin, et que les pr\u00e9pos\u00e9s des cardinaux en conclave (i conclavisti) participent avec eux \u00e0 des paris, ce qui entra\u00eene donc plusieurs dizaines de milliers de couronnes \u00e0 changer de mains \u00bb comme le raconte Baumgartner (2003). Plus proches de nous, les march\u00e9s de paris lors des \u00e9lections ont \u00e9t\u00e9 populaires aux \u00c9tats-Unis, jusqu\u2019\u00e0 la seconde guerre mondiale. Rhode & Strumpf (2008) avance plusieurs raisons pour la perte d\u2019int\u00e9r\u00eat au cours de la seconde moiti\u00e9 du XX\u00e8me si\u00e8cle : les am\u00e9liorations des techniques de sondages\u2026 et la l\u00e9galisation des paris sur chevaux. Mais les sites de paris en ligne ont relanc\u00e9 l\u2019int\u00e9r\u00eat pour les paris, quels qu\u2019ils soient. Car les sites que nous \u00e9voquions dans un article pr\u00e9c\u00e9dent ne se limitent souvent pas aux paris sportifs, mais permettent aussi des paris sur une magnitude de tremblement de terre, un vainqueur aux Oscars, voire l\u2019observation du boson de Higgs, comme le proposait intrade.com, qui a \u00e9t\u00e9 liquid\u00e9 en 2015. Comme le montre onlinebettingsites.com<\/a><\/span><\/span>, on pouvait parier sur les \u00e9lections fran\u00e7aises en 2017, ou sur le r\u00e9f\u00e9rendum sur le Brexit (m\u00eame si pour ce dernier, les march\u00e9s pr\u00e9dictifs n\u2019ont pas \u00e9t\u00e9 en me-sure de refl\u00e9ter la croyance des foules, comme le rappelle un article de The Economist<\/a><\/span><\/span>).<\/p>\n

Math\u00e9matiques du \u00ab pari-mutuel \u00bb<\/h3>\n

La th\u00e9orie du \u00ab pari-mutuel \u00bb n\u2019est pas sans rappeler la mutualisation des risques, fondement important du m\u00e9canisme d\u2019assurance, cher aux actuaires [1]. En travaillant sur les march\u00e9s des paris hippiques, Edmund Eisenberg et David Gale ont obtenu, dans un court article de trois pages, Consensus of Subjective Probabilities, des r\u00e9sultats relativement g\u00e9n\u00e9raux, tant que le pari est statique.<\/p>\n

Supposons que \"I joueurs puissent parier sur \"J\" chevaux. Chaque joueur poss\u00e8de une somme totale \"b_i\", que l\u2019on normalisera de telle sorte que \"b_i\" d\u00e9signe la part de la somme totale mis\u00e9e (et donc \"b_1\" +\u2026+ \"b_I\" =1). Le joueur \"i\" peut alors miser la somme \" sur le cheval j (avec ici \"+\u2026+\" = \"b_i\"). Lorsque les paris sont cl\u00f4tur\u00e9s, on note \"\\pi_j\" le montant pari\u00e9 sur le cheval \"j\", autrement dit \"\\beta_{{i,1\"+\u2026+\"\\beta_{{I,j\" = \"\\pi_j\"). La contrainte de budget impose que la somme de ces montants soit \u00e9gale \u00e0 1, ce qui donne aux \"\\pi_j\" une interpr\u00e9tation probabiliste. Nous reviendrons sur l\u2019utilisation de ces \u00ab prix \u00bb par la suite. On peut aussi noter \"\\theta_j\" la cote de gain (payoff-odds) d\u00e9finie comme \"\\pi_, de telle sorte que \"\\pi_j=(1+\\theta_j)^{{-1\". Si on suppose qu\u2019une portion \"1-\\alpha\" est gard\u00e9e par le bookmaker, alors \"\\pi_j=\\alpha et \"\\theta_j=(\\alpha. Les rendements esp\u00e9r\u00e9s sur chacun des chevaux doivent \u00eatre \u00e9gaux, \u00e0 l\u2019\u00e9quilibre, au rendement net attendu, o\u00f9 l\u2019esp\u00e9rance est calcul\u00e9e sous la probabilit\u00e9 \"\\pi,\"\u00a0de mani\u00e8re \u00e0 refl\u00e9ter les croyances de tous les parieurs, soit ici<\/p>\n

\"\\pi_j\\theta_j+(1<\/p>\n

Le r\u00e9sultat essentiel du mod\u00e8le de Eisenberg & Gale est de montrer qu\u2019il existe un \u00e9quilibre sur ce march\u00e9. Plus pr\u00e9cis\u00e9ment, la fraction mis\u00e9e sur chaque cheval doit \u00eatre \u00e9gale \u00e0 la probabilit\u00e9 du mar-ch\u00e9 du cheval. Pour arriver \u00e0 cet \u00e9quilibre, il est souvent suppos\u00e9 que les cotes d’\u00e9quilibre sont trou-v\u00e9es par un commissaire-priseur (ce r\u00f4le sera jou\u00e9 par le bookmaker). Comme le notait Blough (2008), l’hypoth\u00e8se selon laquelle aucun pari n’est fait tant que les cotes ne sont pas \u00e9quilibr\u00e9es est une hypoth\u00e8se qui se v\u00e9rifie effectivement sur les courses hippiques.<\/p>\n

Si on suppose que chaque parieur est neutre au risque (et cherche \u00e0 maximiser son esp\u00e9rance de gain) et que ses croyances sont mat\u00e9rialis\u00e9es par un vecteur de probabilit\u00e9s \"p_i\"=(\"p_{{i1\", \u2026,\"p_{{iJ\") \u2013 au sens o\u00f9 le joueur \"i\" pense que le cheval \"j\" va gagner avec une probabilit\u00e9 \"p_{{ij\" \u2013 alors, \u00e0 l\u2019\u00e9quilibre, si \"\\beta_{{i,j\" >0,<\/p>\n

\"p_{{ij}}=\\pi_j<\/p>\n

o\u00f9 argmax{\"p_{{is}}\/\\pi_s\"}= argmax{\"} est le<\/em> cheval sur lequel le parieur \"\u00a0doit tout miser s\u2019il mise sur un seul cheval. Blough (2008) revient longuement sur la description de cet \u00e9quilibre, et l\u2019\u00e9tend au cas o\u00f9 les agents ont potentiellement de l\u2019aversion pour le risque (mais la m\u00eame) et des croyances potentiellement diff\u00e9rentes. Cet \u00e9quilibre est alors d\u00e9crit comme un consensus de croyance.<\/p>\n

Dans un article intitul\u00e9 Interpreting the Predictions of Prediction Markets<\/a><\/span><\/span>, Charles Manski a propos\u00e9 d\u2019utiliser cette th\u00e9orie pour interpr\u00e9ter ces prix, en lien avec les approches plus classiques en \u00e9cono-mie, comme les prix d\u2019Arrow-Debreu.<\/p>\n

Pour illustrer ce consensus, consid\u00e9rons une finale de Coupe du monde qui devra aboutir soit \u00e0 la victoire de \"A\", soit la victoire de \"B\". Imaginons un contrat offrant 1$ si \"A\" gagne, et que ce contrat soit propos\u00e9 au prix \"\\pi_A\". Si on n\u2019autorise pas d\u2019arbitrage, on a une loi du prix unique, et on en d\u00e9duit que \"\\pi_B=1-\\pi_A\". Imaginons un joueur qui pense que la probabilit\u00e9 que \"A\" gagne est sup\u00e9rieure \u00e0 \"\\pi_A\", soit, avec les notations pr\u00e9c\u00e9dentes, \"p_{{iA}}>\\pi_A\". Dans ce cas, le joueur a int\u00e9r\u00eat \u00e0 parier tout son agent sur la victoire de \"A\", c\u2019est-\u00e0-dire \u00e0 acheter ce contrat. La demande agr\u00e9g\u00e9e pour ce titre sera alors<\/p>\n

\"[b_1P[p_{{1A}}<\/p>\n

et on aura un \u00e9quilibre si la demande agr\u00e9g\u00e9e pour les deux titres v\u00e9rifie<\/p>\n

\"[b_1P[p_{{1A}}<\/p>\n

de telle sorte que<\/p>\n

\"\\pi_A=[b_1P[p_{{1A}}<\/p>\n

ce qui permet d\u2019\u00e9crire le prix comme une moyenne des croyances des joueurs.<\/p>\n

On notera ici que l\u2019\u00e9quilibre est statique, permettant juste au bookmaker de fixer une cote. R\u00e9cemment, Agrawal et al.<\/em> (2014) a propos\u00e9 un algorithme pour \u00e9quilibrer, en temps continu, ce march\u00e9. On pourra aussi noter que cette notion d\u2019\u00e9quilibre apparait dans de nombreux algorithmes, comme dans le march\u00e9 dit de Fisher<\/a><\/span><\/span>.<\/p>\n

Le pouvoir pr\u00e9dictif des prix<\/h3>\n

Mais cette id\u00e9e de voir dans les prix une agr\u00e9gation des croyances des joueurs n\u2019est pas nouvelle ! En 1655, dans Van Rekeningh in Spelen van Gelucken<\/em>, (publi\u00e9 en latin sous le titre \u2018De Ratiociniis in Ale\u00e6 Ludo<\/em>\u2018), Christiaan Huyghens a propos\u00e9 d\u2019extraire des informations sur les croyances \u00e0 partir des prix. En 1671, Wilhelmina de Witt a not\u00e9 que, comme le prix d\u2019un contrat versant une rente jusqu\u2019au d\u00e9c\u00e8s pouvait \u00eatre vu comme une moyenne pond\u00e9r\u00e9e d\u2019annuit\u00e9s (\u00e0 maturit\u00e9 fixe), on pouvait, en observant les prix des diff\u00e9rents contrats d\u2019assurance, extraire des probabilit\u00e9s interpr\u00e9t\u00e9es comme des probabilit\u00e9s de survie.<\/p>\n

Ces probabilit\u00e9s sont \u00ab subjectives \u00bb comme les appelaient Bruno de Finetti ou Frank Ramsey. Ce dernier ne voyait pas les probabilit\u00e9s sous un angle fr\u00e9quentiste, mais comme une mesure du degr\u00e9 de croyance \u2013 \u00ab a degree of belief<\/em> \u00bb, qui pouvait se mesurer au travers de paris \u2013 \u00ab through betting odds \u00bb, dans Truth and Probability<\/a><\/span><\/span> (en 1926). C\u2019est finalement ce que dit la th\u00e9orie pr\u00e9sent\u00e9e par Kenneth Arrow en 1953, et approfondie par G\u00e9rard Debreu en 1959, instaurant les \u00ab prix d\u2019Arrow-Debreu \u00bb.<\/p>\n

De nombreux sites internet utilisent les cotes des paris pour en d\u00e9duire les croyances des joueurs, exprim\u00e9es abusivement comme la probabilit\u00e9 qu\u2019une \u00e9quipe gagne une comp\u00e9tition. On peut d\u2019ailleurs noter les travaux<\/a> <\/span><\/span>men\u00e9s l\u2019\u00e9t\u00e9 dernier par des doctorants de l\u2019universit\u00e9 de Rennes qui avaient compar\u00e9 les cotes sur les sites de paris en ligne, et les pr\u00e9visions obtenues par plusieurs algorithmes (allant d\u2019un classifieur bay\u00e9sien na\u00eff \u00e0 du boosting, du support vector machine<\/em> ou des r\u00e9seaux de neurones). Un num\u00e9ro sp\u00e9cial de The Economist, paru en 2007, et intitul\u00e9 The Future of Futurology<\/span><\/span><\/a>, notait que \u00ab the most heeded futurists these days are not individuals, but prediction markets, where the informed guesswork of many is consolidated into hard probability<\/em> \u00bb. Cette id\u00e9e est aujourd\u2019hui largement revenue au go\u00fbt du jour, comme le pr\u00e9disait l\u2019article de Chen & Pennock (2010) paru dans AI Magazine.<\/p>\n

\n

R\u00e9f\u00e9rences<\/em>
\nAgrawal, Shipra, Delage, Erick, Peters, Mark, Wang, Zizhuo & Ye, Yinyu (2014). A Unified Framework for Dynamic Prediction Market Design<\/span><\/span><\/a>. Operations Research.
\nBaron, Ken & Lange, Jeffrey (2006). Parimutuel Applications In Finance: New Markets for New Risks. Springer.
\nBaumgartner, Frederic (2003) Behind locked doors: a history of papal elections. Palgrave.
\nBlough, Stephen R. (2008) Differences of opinion at the racetrack. In Efficiency of Racetrack Betting Markets, 323-341, World Scientific.
\nChen, Yiling & Pennock, David (2010). Designing Markets for Prediction<\/a><\/span>. AI Magazine.
\nDecker, Wolfgang & Thuillier, Jean-Paul (2004). Le sport dans l\u2019antiquit\u00e9. Picard.
\nEisenberg, Edmund & Gale, David (1959). Consensus of Subjective Probabilities: The Pari-Mutuel Method.<\/span><\/span> Annals of Mathematical Statistics, 30:1, 165-168.
\nGriffith, RM (1949) Odds adjustments by American horse-race bettors. The American Journal of Psychology, 62, 290-294.
\nManski, Charles (2005) Interpreting the Predictions of Prediction Markets<\/span><\/span>. NBER 10359.
\nRhode, Paul, W. & Strumpf, Koleman (2008) Historical Political Futures Markets: An International Perspective<\/a><\/span>. NBER 14377.<\/p>\n

\n

[1] Baron & Lange (2006) revient longuement sur la comparaison entre la valorisation dite \u00ab risque neutre \u00bb en finance (reposant sur la loi du prix unique et celle d\u2019arbitrage), et celle relative au \u00ab pari-mutuel \u00bb. Ils parlent ainsi de \u00ab self-hedging \u00bb car, dans un pari, les parieurs partagent les gains au prorata de leur mise initiale. Ce qui n\u2019est pas sans rappeler le fonctionnement des mutuelles d\u2019assurance, o\u00f9 l\u2019argent qui servira \u00e0 indemniser les sinistr\u00e9s doit correspondre au total des primes demand\u00e9es.\u00a0<\/em><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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